Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30291 / 20135
↖ ↑ ↗
← N 56.827939°
W 13.606567°		 ← 334.20 m → N 56.827939°
W 13.601074°		 →
↑
334.22 m
↓
↑
334.22 m
↓
N 56.824933°
W 13.606567°		 ← 334.22 m →
111 700 m²		 N 56.824933°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462211608886719 y=0.307243347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462211608886719 × 216)
    floor (0.462211608886719 × 65536)
    floor (30291.5)     		tx = 30291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307243347167969 × 216)
    floor (0.307243347167969 × 65536)
    floor (20135.5)     		ty = 20135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30291 / 20135 ti = "16/30291/20135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30291/20135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30291 ÷ 216
    30291 ÷ 65536     		x = 0.462203979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20135 ÷ 216
    20135 ÷ 65536     		y = 0.307235717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462203979492188 × 2 - 1) × π
    -0.075592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23747940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307235717773438 × 2 - 1) × π
    0.385528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21117370580034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23747940} λ = -0.23747940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21117370580034))-π/2
    2×atan(3.35742296769662)-π/2
    2×1.28131548122076-π/2
    2.56263096244151-1.57079632675     		φ = 0.99183464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23747940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.606567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99183464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.827939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30291 KachelY 20135 -0.23747940 0.99183464 -13.606567 56.827939
    Oben rechts KachelX + 1 30292 KachelY 20135 -0.23738353 0.99183464 -13.601074 56.827939
    Unten links KachelX 30291 KachelY + 1 20136 -0.23747940 0.99178218 -13.606567 56.824933
    Unten rechts KachelX + 1 30292 KachelY + 1 20136 -0.23738353 0.99178218 -13.601074 56.824933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99183464-0.99178218) × R
    5.24600000000319e-05 × 6371000     		dl = 334.222660000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99183464-0.99178218) × R
    5.24600000000319e-05 × 6371000     		dr = 334.222660000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23747940--0.23738353) × cos(0.99183464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547155131322229 × 6371000     		do = 334.195662504354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23747940--0.23738353) × cos(0.99178218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547199041227079 × 6371000     		du = 334.222482137219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99183464)-sin(0.99178218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547155131322229-0.547199041227079)×R²
    abs(-0.23738353--0.23747940)×4.3909904850592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3909904850592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3909904850592e-05×40589641000000     		ar = 111700.245173222m²