Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30290 / 20366
↖ ↑ ↗
← N 56.127184°
W 13.612060°		 ← 340.42 m → N 56.127184°
W 13.606567°		 →
↑
340.40 m
↓
↑
340.40 m
↓
N 56.124123°
W 13.612060°		 ← 340.45 m →
115 886 m²		 N 56.124123°
W 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462196350097656 y=0.310768127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462196350097656 × 216)
    floor (0.462196350097656 × 65536)
    floor (30290.5)     		tx = 30290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310768127441406 × 216)
    floor (0.310768127441406 × 65536)
    floor (20366.5)     		ty = 20366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30290 / 20366 ti = "16/30290/20366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30290/20366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30290 ÷ 216
    30290 ÷ 65536     		x = 0.462188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20366 ÷ 216
    20366 ÷ 65536     		y = 0.310760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.07562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23757527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310760498046875 × 2 - 1) × π
    0.37847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18902685817587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23757527} λ = -0.23757527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18902685817587))-π/2
    2×atan(3.28388396711734)-π/2
    2×1.27520024508682-π/2
    2.55040049017364-1.57079632675     		φ = 0.97960416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23757527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.612060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97960416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.127184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30290 KachelY 20366 -0.23757527 0.97960416 -13.612060 56.127184
    Oben rechts KachelX + 1 30291 KachelY 20366 -0.23747940 0.97960416 -13.606567 56.127184
    Unten links KachelX 30290 KachelY + 1 20367 -0.23757527 0.97955073 -13.612060 56.124123
    Unten rechts KachelX + 1 30291 KachelY + 1 20367 -0.23747940 0.97955073 -13.606567 56.124123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97960416-0.97955073) × R
    5.34299999999099e-05 × 6371000     		dl = 340.402529999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97960416-0.97955073) × R
    5.34299999999099e-05 × 6371000     		dr = 340.402529999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23757527--0.23747940) × cos(0.97960416) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55735124719703 × 6371000     		do = 340.423325382185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23757527--0.23747940) × cos(0.97955073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557395608091608 × 6371000     		du = 340.45042047406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97960416)-sin(0.97955073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55735124719703-0.557395608091608)×R²
    abs(-0.23747940--0.23757527)×4.43608945775997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43608945775997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43608945775997e-05×40589641000000     		ar = 115885.572877547m²