Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30290 / 13167
↖ ↑ ↗
← N 72.635013°
W 13.612060°		 ← 182.29 m → N 72.635013°
W 13.606567°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
N 72.633374°
W 13.612060°		 ← 182.31 m →
33 229 m²		 N 72.633374°
W 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462196350097656 y=0.200920104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462196350097656 × 216)
    floor (0.462196350097656 × 65536)
    floor (30290.5)     		tx = 30290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200920104980469 × 216)
    floor (0.200920104980469 × 65536)
    floor (13167.5)     		ty = 13167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30290 / 13167 ti = "16/30290/13167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30290/13167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30290 ÷ 216
    30290 ÷ 65536     		x = 0.462188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13167 ÷ 216
    13167 ÷ 65536     		y = 0.200912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.07562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23757527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200912475585938 × 2 - 1) × π
    0.598175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87922233890544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23757527} λ = -0.23757527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87922233890544))-π/2
    2×atan(6.54841043755148)-π/2
    2×1.41925822958814-π/2
    2.83851645917627-1.57079632675     		φ = 1.26772013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23757527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.612060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26772013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.635013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30290 KachelY 13167 -0.23757527 1.26772013 -13.612060 72.635013
    Oben rechts KachelX + 1 30291 KachelY 13167 -0.23747940 1.26772013 -13.606567 72.635013
    Unten links KachelX 30290 KachelY + 1 13168 -0.23757527 1.26769152 -13.612060 72.633374
    Unten rechts KachelX + 1 30291 KachelY + 1 13168 -0.23747940 1.26769152 -13.606567 72.633374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26772013-1.26769152) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dl = 182.274309999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26772013-1.26769152) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dr = 182.274309999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23757527--0.23747940) × cos(1.26772013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298457606821469 × 6371000     		do = 182.294256110018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23757527--0.23747940) × cos(1.26769152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298484912738259 × 6371000     		du = 182.310934230042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26772013)-sin(1.26769152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298457606821469-0.298484912738259)×R²
    abs(-0.23747940--0.23757527)×2.73059167901768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73059167901768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73059167901768e-05×40589641000000     		ar = 33229.0797477709m²