Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30289 / 20013
↖ ↑ ↗
← N 57.192832°
W 13.617554°		 ← 330.97 m → N 57.192832°
W 13.612060°		 →
↑
330.97 m
↓
↑
330.97 m
↓
N 57.189855°
W 13.617554°		 ← 330.99 m →
109 546 m²		 N 57.189855°
W 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462181091308594 y=0.305381774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462181091308594 × 216)
    floor (0.462181091308594 × 65536)
    floor (30289.5)     		tx = 30289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305381774902344 × 216)
    floor (0.305381774902344 × 65536)
    floor (20013.5)     		ty = 20013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30289 / 20013 ti = "16/30289/20013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30289/20013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30289 ÷ 216
    30289 ÷ 65536     		x = 0.462173461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20013 ÷ 216
    20013 ÷ 65536     		y = 0.305374145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462173461914062 × 2 - 1) × π
    -0.075653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23767115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305374145507812 × 2 - 1) × π
    0.389251708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22287030930763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23767115} λ = -0.23767115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22287030930763))-π/2
    2×atan(3.39692397642955)-π/2
    2×1.28449977464833-π/2
    2.56899954929665-1.57079632675     		φ = 0.99820322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23767115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.617554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99820322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.192832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30289 KachelY 20013 -0.23767115 0.99820322 -13.617554 57.192832
    Oben rechts KachelX + 1 30290 KachelY 20013 -0.23757527 0.99820322 -13.612060 57.192832
    Unten links KachelX 30289 KachelY + 1 20014 -0.23767115 0.99815127 -13.617554 57.189855
    Unten rechts KachelX + 1 30290 KachelY + 1 20014 -0.23757527 0.99815127 -13.612060 57.189855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99820322-0.99815127) × R
    5.19499999999118e-05 × 6371000     		dl = 330.973449999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99820322-0.99815127) × R
    5.19499999999118e-05 × 6371000     		dr = 330.973449999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23767115--0.23757527) × cos(0.99820322) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541813371129985 × 6371000     		do = 330.967499638515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23767115--0.23757527) × cos(0.99815127) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541857034312678 × 6371000     		du = 330.994171358285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99820322)-sin(0.99815127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541813371129985-0.541857034312678)×R²
    abs(-0.23757527--0.23767115)×4.3663182692999e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3663182692999e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3663182692999e-05×40589641000000     		ar = 109545.869033078m²