Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30288 / 28080
↖ ↑ ↗
← N 24.926295°
W 13.623047°		 ← 553.89 m → N 24.926295°
W 13.617554°		 →
↑
553.89 m
↓
↑
553.89 m
↓
N 24.921313°
W 13.623047°		 ← 553.92 m →
306 805 m²		 N 24.921313°
W 13.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462165832519531 y=0.428474426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462165832519531 × 216)
    floor (0.462165832519531 × 65536)
    floor (30288.5)     		tx = 30288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428474426269531 × 216)
    floor (0.428474426269531 × 65536)
    floor (28080.5)     		ty = 28080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30288 / 28080 ti = "16/30288/28080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30288/28080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30288 ÷ 216
    30288 ÷ 65536     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28080 ÷ 216
    28080 ÷ 65536     		y = 0.428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449456370837647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449456370837647))-π/2
    2×atan(1.56745983695221)-π/2
    2×1.00292112038974-π/2
    2.00584224077948-1.57079632675     		φ = 0.43504591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43504591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.926295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30288 KachelY 28080 -0.23776702 0.43504591 -13.623047 24.926295
    Oben rechts KachelX + 1 30289 KachelY 28080 -0.23767115 0.43504591 -13.617554 24.926295
    Unten links KachelX 30288 KachelY + 1 28081 -0.23776702 0.43495897 -13.623047 24.921313
    Unten rechts KachelX + 1 30289 KachelY + 1 28081 -0.23767115 0.43495897 -13.617554 24.921313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43504591-0.43495897) × R
    8.69399999999798e-05 × 6371000     		dl = 553.894739999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43504591-0.43495897) × R
    8.69399999999798e-05 × 6371000     		dr = 553.894739999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23767115) × cos(0.43504591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906850694392099 × 6371000     		do = 553.893313350689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23767115) × cos(0.43495897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90688733200476 × 6371000     		du = 553.915691156425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43504591)-sin(0.43495897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906850694392099-0.90688733200476)×R²
    abs(-0.23767115--0.23776702)×3.6637612660706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6637612660706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6637612660706e-05×40589641000000     		ar = 306804.790453852m²