Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30285 / 42143
↖ ↑ ↗
← S 45.702343°
W 13.639526°		 ← 426.57 m → S 45.702343°
W 13.634033°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
S 45.706179°
W 13.639526°		 ← 426.54 m →
181 968 m²		 S 45.706179°
W 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462120056152344 y=0.643058776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462120056152344 × 216)
    floor (0.462120056152344 × 65536)
    floor (30285.5)     		tx = 30285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643058776855469 × 216)
    floor (0.643058776855469 × 65536)
    floor (42143.5)     		ty = 42143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30285 / 42143 ti = "16/30285/42143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30285/42143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30285 ÷ 216
    30285 ÷ 65536     		x = 0.462112426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42143 ÷ 216
    42143 ÷ 65536     		y = 0.643051147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462112426757812 × 2 - 1) × π
    -0.075775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23805464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.286102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898816867876053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23805464} λ = -0.23805464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898816867876053))-π/2
    2×atan(0.407050970036352)-π/2
    2×0.386569982200267-π/2
    0.773139964400533-1.57079632675     		φ = -0.79765636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23805464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79765636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.702343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30285 KachelY 42143 -0.23805464 -0.79765636 -13.639526 -45.702343
    Oben rechts KachelX + 1 30286 KachelY 42143 -0.23795877 -0.79765636 -13.634033 -45.702343
    Unten links KachelX 30285 KachelY + 1 42144 -0.23805464 -0.79772332 -13.639526 -45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 30286 KachelY + 1 42144 -0.23795877 -0.79772332 -13.634033 -45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79765636--0.79772332) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dl = 426.602160000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79765636--0.79772332) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dr = 426.602160000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23805464--0.23795877) × cos(-0.79765636) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.698386018855341 × 6371000     		do = 426.565639055946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23805464--0.23795877) × cos(-0.79772332) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 426.536366280416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79765636)-sin(-0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698386018855341-0.698338092591969)×R²
    abs(-0.23795877--0.23805464)×4.79262633723554e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.79262633723554e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.79262633723554e-05×40589641000000     		ar = 181967.579156814m²