Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30282 / 42136
↖ ↑ ↗
← S 45.675482°
W 13.656006°		 ← 426.77 m → S 45.675482°
W 13.650513°		 →
↑
426.79 m
↓
↑
426.79 m
↓
S 45.679320°
W 13.656006°		 ← 426.74 m →
182 137 m²		 S 45.679320°
W 13.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462074279785156 y=0.642951965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462074279785156 × 216)
    floor (0.462074279785156 × 65536)
    floor (30282.5)     		tx = 30282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642951965332031 × 216)
    floor (0.642951965332031 × 65536)
    floor (42136.5)     		ty = 42136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30282 / 42136 ti = "16/30282/42136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30282/42136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30282 ÷ 216
    30282 ÷ 65536     		x = 0.462066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42136 ÷ 216
    42136 ÷ 65536     		y = 0.6429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898145751281372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23834226} λ = -0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898145751281372))-π/2
    2×atan(0.4073242403851)-π/2
    2×0.386804387706259-π/2
    0.773608775412518-1.57079632675     		φ = -0.79718755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79718755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.675482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30282 KachelY 42136 -0.23834226 -0.79718755 -13.656006 -45.675482
    Oben rechts KachelX + 1 30283 KachelY 42136 -0.23824639 -0.79718755 -13.650513 -45.675482
    Unten links KachelX 30282 KachelY + 1 42137 -0.23834226 -0.79725454 -13.656006 -45.679320
    Unten rechts KachelX + 1 30283 KachelY + 1 42137 -0.23824639 -0.79725454 -13.650513 -45.679320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79718755--0.79725454) × R
    6.6989999999989e-05 × 6371000     		dl = 426.79328999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79718755--0.79725454) × R
    6.6989999999989e-05 × 6371000     		dr = 426.79328999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23834226--0.23824639) × cos(-0.79718755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698721479395608 × 6371000     		do = 426.770534251135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23834226--0.23824639) × cos(-0.79725454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698673553596929 × 6371000     		du = 426.741261759434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79718755)-sin(-0.79725454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698721479395608-0.698673553596929)×R²
    abs(-0.23824639--0.23834226)×4.79257986796267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79257986796267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79257986796267e-05×40589641000000     		ar = 182136.553804366m²