Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30282 / 20055
↖ ↑ ↗
← N 57.067617°
W 13.656006°		 ← 332.05 m → N 57.067617°
W 13.650513°		 →
↑
332.12 m
↓
↑
332.12 m
↓
N 57.064630°
W 13.656006°		 ← 332.08 m →
110 286 m²		 N 57.064630°
W 13.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462074279785156 y=0.306022644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462074279785156 × 216)
    floor (0.462074279785156 × 65536)
    floor (30282.5)     		tx = 30282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306022644042969 × 216)
    floor (0.306022644042969 × 65536)
    floor (20055.5)     		ty = 20055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30282 / 20055 ti = "16/30282/20055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30282/20055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30282 ÷ 216
    30282 ÷ 65536     		x = 0.462066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20055 ÷ 216
    20055 ÷ 65536     		y = 0.306015014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306015014648438 × 2 - 1) × π
    0.387969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21884360973955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23834226} λ = -0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21884360973955))-π/2
    2×atan(3.38327308658194)-π/2
    2×1.2834070676308-π/2
    2.56681413526161-1.57079632675     		φ = 0.99601781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99601781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.067617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30282 KachelY 20055 -0.23834226 0.99601781 -13.656006 57.067617
    Oben rechts KachelX + 1 30283 KachelY 20055 -0.23824639 0.99601781 -13.650513 57.067617
    Unten links KachelX 30282 KachelY + 1 20056 -0.23834226 0.99596568 -13.656006 57.064630
    Unten rechts KachelX + 1 30283 KachelY + 1 20056 -0.23824639 0.99596568 -13.650513 57.064630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99601781-0.99596568) × R
    5.21300000000391e-05 × 6371000     		dl = 332.120230000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99601781-0.99596568) × R
    5.21300000000391e-05 × 6371000     		dr = 332.120230000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23834226--0.23824639) × cos(0.99601781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543648910345468 × 6371000     		do = 332.054105612831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23834226--0.23824639) × cos(0.99596568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54369266297948 × 6371000     		du = 332.080829186591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99601781)-sin(0.99596568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543648910345468-0.54369266297948)×R²
    abs(-0.23824639--0.23834226)×4.37526340121286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37526340121286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37526340121286e-05×40589641000000     		ar = 110286.323673361m²