Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30278 / 16510
↖ ↑ ↗
← N 66.235885°
W 13.677979°		 ← 246.13 m → N 66.235885°
W 13.672486°		 →
↑
246.18 m
↓
↑
246.18 m
↓
N 66.233671°
W 13.677979°		 ← 246.15 m →
60 594 m²		 N 66.233671°
W 13.672486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462013244628906 y=0.251930236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462013244628906 × 216)
    floor (0.462013244628906 × 65536)
    floor (30278.5)     		tx = 30278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251930236816406 × 216)
    floor (0.251930236816406 × 65536)
    floor (16510.5)     		ty = 16510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30278 / 16510 ti = "16/30278/16510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30278/16510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30278 ÷ 216
    30278 ÷ 65536     		x = 0.462005615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16510 ÷ 216
    16510 ÷ 65536     		y = 0.251922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.07598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23872576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251922607421875 × 2 - 1) × π
    0.49615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.55871622804575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23872576} λ = -0.23872576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55871622804575))-π/2
    2×atan(4.75271592364679)-π/2
    2×1.36341530194954-π/2
    2.72683060389909-1.57079632675     		φ = 1.15603428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23872576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.677979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15603428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.235885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30278 KachelY 16510 -0.23872576 1.15603428 -13.677979 66.235885
    Oben rechts KachelX + 1 30279 KachelY 16510 -0.23862989 1.15603428 -13.672486 66.235885
    Unten links KachelX 30278 KachelY + 1 16511 -0.23872576 1.15599564 -13.677979 66.233671
    Unten rechts KachelX + 1 30279 KachelY + 1 16511 -0.23862989 1.15599564 -13.672486 66.233671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15603428-1.15599564) × R
    3.86400000000897e-05 × 6371000     		dl = 246.175440000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15603428-1.15599564) × R
    3.86400000000897e-05 × 6371000     		dr = 246.175440000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23872576--0.23862989) × cos(1.15603428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402972164111522 × 6371000     		do = 246.130469489745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23872576--0.23862989) × cos(1.15599564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403007527611442 × 6371000     		du = 246.152069083001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15603428)-sin(1.15599564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402972164111522-0.403007527611442)×R²
    abs(-0.23862989--0.23872576)×3.53634999199492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53634999199492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53634999199492e-05×40589641000000     		ar = 60593.9352765055m²