Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30277 / 42056
↖ ↑ ↗
← S 45.367584°
W 13.683471°		 ← 429.11 m → S 45.367584°
W 13.677979°		 →
↑
429.15 m
↓
↑
429.15 m
↓
S 45.371444°
W 13.683471°		 ← 429.08 m →
184 148 m²		 S 45.371444°
W 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461997985839844 y=0.641731262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461997985839844 × 216)
    floor (0.461997985839844 × 65536)
    floor (30277.5)     		tx = 30277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641731262207031 × 216)
    floor (0.641731262207031 × 65536)
    floor (42056.5)     		ty = 42056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30277 / 42056 ti = "16/30277/42056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30277/42056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30277 ÷ 216
    30277 ÷ 65536     		x = 0.461990356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42056 ÷ 216
    42056 ÷ 65536     		y = 0.6417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461990356445312 × 2 - 1) × π
    -0.076019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23882163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890475847342163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23882163} λ = -0.23882163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890475847342163))-π/2
    2×atan(0.410460389789014)-π/2
    2×0.389491302950018-π/2
    0.778982605900035-1.57079632675     		φ = -0.79181372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23882163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.683471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79181372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.367584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30277 KachelY 42056 -0.23882163 -0.79181372 -13.683471 -45.367584
    Oben rechts KachelX + 1 30278 KachelY 42056 -0.23872576 -0.79181372 -13.677979 -45.367584
    Unten links KachelX 30277 KachelY + 1 42057 -0.23882163 -0.79188108 -13.683471 -45.371444
    Unten rechts KachelX + 1 30278 KachelY + 1 42057 -0.23872576 -0.79188108 -13.677979 -45.371444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79181372--0.79188108) × R
    6.73599999999608e-05 × 6371000     		dl = 429.15055999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79181372--0.79188108) × R
    6.73599999999608e-05 × 6371000     		dr = 429.15055999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23882163--0.23872576) × cos(-0.79181372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702555776743856 × 6371000     		do = 429.112476177988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23882163--0.23872576) × cos(-0.79188108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702507839842018 × 6371000     		du = 429.083196904614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79181372)-sin(-0.79188108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702555776743856-0.702507839842018)×R²
    abs(-0.23872576--0.23882163)×4.79369018381304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79369018381304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79369018381304e-05×40589641000000     		ar = 184147.57691573m²