Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30276 / 16827
↖ ↑ ↗
← N 65.524344°
W 13.688965°		 ← 253.08 m → N 65.524344°
W 13.683471°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
N 65.522069°
W 13.688965°		 ← 253.10 m →
64 046 m²		 N 65.522069°
W 13.683471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461982727050781 y=0.256767272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461982727050781 × 216)
    floor (0.461982727050781 × 65536)
    floor (30276.5)     		tx = 30276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256767272949219 × 216)
    floor (0.256767272949219 × 65536)
    floor (16827.5)     		ty = 16827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30276 / 16827 ti = "16/30276/16827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30276/16827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30276 ÷ 216
    30276 ÷ 65536     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16827 ÷ 216
    16827 ÷ 65536     		y = 0.256759643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256759643554688 × 2 - 1) × π
    0.486480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52832423368663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52832423368663))-π/2
    2×atan(4.61044431789651)-π/2
    2×1.35720593756187-π/2
    2.71441187512374-1.57079632675     		φ = 1.14361555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14361555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.524344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30276 KachelY 16827 -0.23891751 1.14361555 -13.688965 65.524344
    Oben rechts KachelX + 1 30277 KachelY 16827 -0.23882163 1.14361555 -13.683471 65.524344
    Unten links KachelX 30276 KachelY + 1 16828 -0.23891751 1.14357583 -13.688965 65.522069
    Unten rechts KachelX + 1 30277 KachelY + 1 16828 -0.23882163 1.14357583 -13.683471 65.522069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14361555-1.14357583) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14361555-1.14357583) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23882163) × cos(1.14361555) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414306571842119 × 6371000     		do = 253.079782583465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23882163) × cos(1.14357583) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		du = 253.101865066176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14361555)-sin(1.14357583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414306571842119-0.414342722172328)×R²
    abs(-0.23882163--0.23891751)×3.61503302094834e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.61503302094834e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.61503302094834e-05×40589641000000     		ar = 64046.1818927997m²