Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30275 / 21571
↖ ↑ ↗
← N 76.140985°
W 96.847229°		 ← 73.16 m → N 76.140985°
W 96.844482°		 →
↑
73.14 m
↓
↑
73.14 m
↓
N 76.140327°
W 96.847229°		 ← 73.16 m →
5 351 m²		 N 76.140327°
W 96.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230983734130859 y=0.164577484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230983734130859 × 217)
    floor (0.230983734130859 × 131072)
    floor (30275.5)     		tx = 30275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164577484130859 × 217)
    floor (0.164577484130859 × 131072)
    floor (21571.5)     		ty = 21571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30275 / 21571 ti = "17/30275/21571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30275/21571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30275 ÷ 217
    30275 ÷ 131072     		x = 0.230979919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21571 ÷ 217
    21571 ÷ 131072     		y = 0.164573669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230979919433594 × 2 - 1) × π
    -0.538040161132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.69030302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164573669433594 × 2 - 1) × π
    0.670852661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.10754579179577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69030302} λ = -1.69030302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10754579179577))-π/2
    2×atan(8.22802320303433)-π/2
    2×1.44985360455493-π/2
    2.89970720910986-1.57079632675     		φ = 1.32891088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69030302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.847229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32891088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.140985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30275 KachelY 21571 -1.69030302 1.32891088 -96.847229 76.140985
    Oben rechts KachelX + 1 30276 KachelY 21571 -1.69025508 1.32891088 -96.844482 76.140985
    Unten links KachelX 30275 KachelY + 1 21572 -1.69030302 1.32889940 -96.847229 76.140327
    Unten rechts KachelX + 1 30276 KachelY + 1 21572 -1.69025508 1.32889940 -96.844482 76.140327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32891088-1.32889940) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dl = 73.1390799996983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32891088-1.32889940) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dr = 73.1390799996983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69030302--1.69025508) × cos(1.32891088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239533608907949 × 6371000     		do = 73.159729755533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69030302--1.69025508) × cos(1.32889940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239544754687242 × 6371000     		du = 73.1631339634215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32891088)-sin(1.32889940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239533608907949-0.239544754687242)×R²
    abs(-1.69025508--1.69030302)×1.11457792931202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11457792931202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11457792931202e-05×40589641000000     		ar = 5350.95981778354m²