Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30275 / 19997
↖ ↑ ↗
← N 57.240421°
W 13.694458°		 ← 330.51 m → N 57.240421°
W 13.688965°		 →
↑
330.53 m
↓
↑
330.53 m
↓
N 57.237449°
W 13.694458°		 ← 330.53 m →
109 246 m²		 N 57.237449°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461967468261719 y=0.305137634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461967468261719 × 216)
    floor (0.461967468261719 × 65536)
    floor (30275.5)     		tx = 30275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305137634277344 × 216)
    floor (0.305137634277344 × 65536)
    floor (19997.5)     		ty = 19997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30275 / 19997 ti = "16/30275/19997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30275/19997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30275 ÷ 216
    30275 ÷ 65536     		x = 0.461959838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19997 ÷ 216
    19997 ÷ 65536     		y = 0.305130004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461959838867188 × 2 - 1) × π
    -0.076080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23901338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305130004882812 × 2 - 1) × π
    0.389739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22440429009547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23901338} λ = -0.23901338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22440429009547))-π/2
    2×atan(3.40213879123743)-π/2
    2×1.28491507246872-π/2
    2.56983014493744-1.57079632675     		φ = 0.99903382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23901338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.694458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99903382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.240421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30275 KachelY 19997 -0.23901338 0.99903382 -13.694458 57.240421
    Oben rechts KachelX + 1 30276 KachelY 19997 -0.23891751 0.99903382 -13.688965 57.240421
    Unten links KachelX 30275 KachelY + 1 19998 -0.23901338 0.99898194 -13.694458 57.237449
    Unten rechts KachelX + 1 30276 KachelY + 1 19998 -0.23891751 0.99898194 -13.688965 57.237449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99903382-0.99898194) × R
    5.18800000000041e-05 × 6371000     		dl = 330.527480000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99903382-0.99898194) × R
    5.18800000000041e-05 × 6371000     		dr = 330.527480000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23901338--0.23891751) × cos(0.99903382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.541115065990644 × 6371000     		do = 330.506464469821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23901338--0.23891751) × cos(0.99898194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54115869367385 × 6371000     		du = 330.533111725157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99903382)-sin(0.99898194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541115065990644-0.54115869367385)×R²
    abs(-0.23891751--0.23901338)×4.36276832060933e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36276832060933e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36276832060933e-05×40589641000000     		ar = 109245.872674501m²