Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30273 / 42059
↖ ↑ ↗
← S 45.379161°
W 13.705444°		 ← 429.02 m → S 45.379161°
W 13.699951°		 →
↑
429.02 m
↓
↑
429.02 m
↓
S 45.383019°
W 13.705444°		 ← 429 m →
184 055 m²		 S 45.383019°
W 13.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461936950683594 y=0.641777038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461936950683594 × 216)
    floor (0.461936950683594 × 65536)
    floor (30273.5)     		tx = 30273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641777038574219 × 216)
    floor (0.641777038574219 × 65536)
    floor (42059.5)     		ty = 42059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30273 / 42059 ti = "16/30273/42059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30273/42059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30273 ÷ 216
    30273 ÷ 65536     		x = 0.461929321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42059 ÷ 216
    42059 ÷ 65536     		y = 0.641769409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461929321289062 × 2 - 1) × π
    -0.076141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23920513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641769409179688 × 2 - 1) × π
    -0.283538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.890763468739883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23920513} λ = -0.23920513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890763468739883))-π/2
    2×atan(0.410342349574254)-π/2
    2×0.389390278252757-π/2
    0.778780556505514-1.57079632675     		φ = -0.79201577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23920513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79201577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.379161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30273 KachelY 42059 -0.23920513 -0.79201577 -13.705444 -45.379161
    Oben rechts KachelX + 1 30274 KachelY 42059 -0.23910926 -0.79201577 -13.699951 -45.379161
    Unten links KachelX 30273 KachelY + 1 42060 -0.23920513 -0.79208311 -13.705444 -45.383019
    Unten rechts KachelX + 1 30274 KachelY + 1 42060 -0.23910926 -0.79208311 -13.699951 -45.383019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79201577--0.79208311) × R
    6.73399999999713e-05 × 6371000     		dl = 429.023139999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79201577--0.79208311) × R
    6.73399999999713e-05 × 6371000     		dr = 429.023139999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23920513--0.23910926) × cos(-0.79201577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702411977829065 × 6371000     		do = 429.024645559495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23920513--0.23910926) × cos(-0.79208311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702364045603044 × 6371000     		du = 428.995369142052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79201577)-sin(-0.79208311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702411977829065-0.702364045603044)×R²
    abs(-0.23910926--0.23920513)×4.79322260207304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79322260207304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79322260207304e-05×40589641000000     		ar = 184055.220514403m²