Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30273 / 20281
↖ ↑ ↗
← N 56.386542°
W 13.705444°		 ← 338.12 m → N 56.386542°
W 13.699951°		 →
↑
338.11 m
↓
↑
338.11 m
↓
N 56.383502°
W 13.705444°		 ← 338.15 m →
114 327 m²		 N 56.383502°
W 13.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461936950683594 y=0.309471130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461936950683594 × 216)
    floor (0.461936950683594 × 65536)
    floor (30273.5)     		tx = 30273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309471130371094 × 216)
    floor (0.309471130371094 × 65536)
    floor (20281.5)     		ty = 20281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30273 / 20281 ti = "16/30273/20281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30273/20281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30273 ÷ 216
    30273 ÷ 65536     		x = 0.461929321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20281 ÷ 216
    20281 ÷ 65536     		y = 0.309463500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461929321289062 × 2 - 1) × π
    -0.076141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23920513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309463500976562 × 2 - 1) × π
    0.381072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19717613111128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23920513} λ = -0.23920513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19717613111128))-π/2
    2×atan(3.31075457309693)-π/2
    2×1.27746357537012-π/2
    2.55492715074025-1.57079632675     		φ = 0.98413082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23920513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98413082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.386542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30273 KachelY 20281 -0.23920513 0.98413082 -13.705444 56.386542
    Oben rechts KachelX + 1 30274 KachelY 20281 -0.23910926 0.98413082 -13.699951 56.386542
    Unten links KachelX 30273 KachelY + 1 20282 -0.23920513 0.98407775 -13.705444 56.383502
    Unten rechts KachelX + 1 30274 KachelY + 1 20282 -0.23910926 0.98407775 -13.699951 56.383502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98413082-0.98407775) × R
    5.30699999999884e-05 × 6371000     		dl = 338.108969999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98413082-0.98407775) × R
    5.30699999999884e-05 × 6371000     		dr = 338.108969999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23920513--0.23910926) × cos(0.98413082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553587168955992 × 6371000     		do = 338.124272427236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23920513--0.23910926) × cos(0.98407775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553631364407413 × 6371000     		du = 338.151266468454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98413082)-sin(0.98407775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553587168955992-0.553631364407413)×R²
    abs(-0.23910926--0.23920513)×4.41954514204257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41954514204257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41954514204257e-05×40589641000000     		ar = 114327.412973034m²