Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30272 / 42053
↖ ↑ ↗
← S 45.356005°
W 13.710937°		 ← 429.20 m → S 45.356005°
W 13.705444°		 →
↑
429.21 m
↓
↑
429.21 m
↓
S 45.359865°
W 13.710937°		 ← 429.17 m →
184 213 m²		 S 45.359865°
W 13.705444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461921691894531 y=0.641685485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461921691894531 × 216)
    floor (0.461921691894531 × 65536)
    floor (30272.5)     		tx = 30272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641685485839844 × 216)
    floor (0.641685485839844 × 65536)
    floor (42053.5)     		ty = 42053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30272 / 42053 ti = "16/30272/42053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30272/42053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30272 ÷ 216
    30272 ÷ 65536     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42053 ÷ 216
    42053 ÷ 65536     		y = 0.641677856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641677856445312 × 2 - 1) × π
    -0.283355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890188225944443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890188225944443))-π/2
    2×atan(0.410578463959549)-π/2
    2×0.389592348327093-π/2
    0.779184696654186-1.57079632675     		φ = -0.79161163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79161163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.356005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30272 KachelY 42053 -0.23930100 -0.79161163 -13.710937 -45.356005
    Oben rechts KachelX + 1 30273 KachelY 42053 -0.23920513 -0.79161163 -13.705444 -45.356005
    Unten links KachelX 30272 KachelY + 1 42054 -0.23930100 -0.79167900 -13.710937 -45.359865
    Unten rechts KachelX + 1 30273 KachelY + 1 42054 -0.23920513 -0.79167900 -13.705444 -45.359865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79161163--0.79167900) × R
    6.7370000000011e-05 × 6371000     		dl = 429.21427000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79161163--0.79167900) × R
    6.7370000000011e-05 × 6371000     		dr = 429.21427000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23920513) × cos(-0.79161163) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.702699575436836 × 6371000     		do = 429.200306661127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23920513) × cos(-0.79167900) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.702651640984049 × 6371000     		du = 429.171028883603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79161163)-sin(-0.79167900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702699575436836-0.702651640984049)×R²
    abs(-0.23920513--0.23930100)×4.79344527869463e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.79344527869463e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.79344527869463e-05×40589641000000     		ar = 184212.613157171m²