Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30272 / 13445
↖ ↑ ↗
← N 72.173397°
W 13.710937°		 ← 186.98 m → N 72.173397°
W 13.705444°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
N 72.171715°
W 13.710937°		 ← 187 m →
34 966 m²		 N 72.171715°
W 13.705444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461921691894531 y=0.205162048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461921691894531 × 216)
    floor (0.461921691894531 × 65536)
    floor (30272.5)     		tx = 30272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205162048339844 × 216)
    floor (0.205162048339844 × 65536)
    floor (13445.5)     		ty = 13445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30272 / 13445 ti = "16/30272/13445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30272/13445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30272 ÷ 216
    30272 ÷ 65536     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13445 ÷ 216
    13445 ÷ 65536     		y = 0.205154418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205154418945312 × 2 - 1) × π
    0.589691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85256942271669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85256942271669))-π/2
    2×atan(6.37618159890074)-π/2
    2×1.4152298697943-π/2
    2.8304597395886-1.57079632675     		φ = 1.25966341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25966341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.173397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30272 KachelY 13445 -0.23930100 1.25966341 -13.710937 72.173397
    Oben rechts KachelX + 1 30273 KachelY 13445 -0.23920513 1.25966341 -13.705444 72.173397
    Unten links KachelX 30272 KachelY + 1 13446 -0.23930100 1.25963406 -13.710937 72.171715
    Unten rechts KachelX + 1 30273 KachelY + 1 13446 -0.23920513 1.25963406 -13.705444 72.171715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25966341-1.25963406) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dl = 186.988849999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25966341-1.25963406) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dr = 186.988849999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23920513) × cos(1.25966341) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.306137355136883 × 6371000     		do = 186.984952457805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23920513) × cos(1.25963406) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.306165295833825 × 6371000     		du = 187.002018293783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25966341)-sin(1.25963406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306137355136883-0.306165295833825)×R²
    abs(-0.23920513--0.23930100)×2.79406969422302e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.79406969422302e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.79406969422302e-05×40589641000000     		ar = 34965.6967902867m²