Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30271 / 42745
↖ ↑ ↗
← S 47.964181°
W 13.716431°		 ← 409.02 m → S 47.964181°
W 13.710937°		 →
↑
408.95 m
↓
↑
408.95 m
↓
S 47.967859°
W 13.716431°		 ← 408.99 m →
167 266 m²		 S 47.967859°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461906433105469 y=0.652244567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461906433105469 × 216)
    floor (0.461906433105469 × 65536)
    floor (30271.5)     		tx = 30271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652244567871094 × 216)
    floor (0.652244567871094 × 65536)
    floor (42745.5)     		ty = 42745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30271 / 42745 ti = "16/30271/42745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30271/42745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30271 ÷ 216
    30271 ÷ 65536     		x = 0.461898803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42745 ÷ 216
    42745 ÷ 65536     		y = 0.652236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461898803710938 × 2 - 1) × π
    -0.076202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23939688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652236938476562 × 2 - 1) × π
    -0.304473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.956532895018601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23939688} λ = -0.23939688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.956532895018601))-π/2
    2×atan(0.384222719812038)-π/2
    2×0.366831725153845-π/2
    0.73366345030769-1.57079632675     		φ = -0.83713288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23939688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.716431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83713288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.964181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30271 KachelY 42745 -0.23939688 -0.83713288 -13.716431 -47.964181
    Oben rechts KachelX + 1 30272 KachelY 42745 -0.23930100 -0.83713288 -13.710937 -47.964181
    Unten links KachelX 30271 KachelY + 1 42746 -0.23939688 -0.83719707 -13.716431 -47.967859
    Unten rechts KachelX + 1 30272 KachelY + 1 42746 -0.23930100 -0.83719707 -13.710937 -47.967859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83713288--0.83719707) × R
    6.41900000000195e-05 × 6371000     		dl = 408.954490000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83713288--0.83719707) × R
    6.41900000000195e-05 × 6371000     		dr = 408.954490000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23939688--0.23930100) × cos(-0.83713288) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.669595060702199 × 6371000     		do = 409.023133830596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23939688--0.23930100) × cos(-0.83719707) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.669547383717316 × 6371000     		du = 408.994010273819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83713288)-sin(-0.83719707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669595060702199-0.669547383717316)×R²
    abs(-0.23930100--0.23939688)×4.76769848829495e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76769848829495e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76769848829495e-05×40589641000000     		ar = 167265.892046549m²