Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30271 / 16488
↖ ↑ ↗
← N 66.284537°
W 13.716431°		 ← 245.68 m → N 66.284537°
W 13.710937°		 →
↑
245.73 m
↓
↑
245.73 m
↓
N 66.282327°
W 13.716431°		 ← 245.70 m →
60 374 m²		 N 66.282327°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461906433105469 y=0.251594543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461906433105469 × 216)
    floor (0.461906433105469 × 65536)
    floor (30271.5)     		tx = 30271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251594543457031 × 216)
    floor (0.251594543457031 × 65536)
    floor (16488.5)     		ty = 16488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30271 / 16488 ti = "16/30271/16488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30271/16488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30271 ÷ 216
    30271 ÷ 65536     		x = 0.461898803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16488 ÷ 216
    16488 ÷ 65536     		y = 0.2515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461898803710938 × 2 - 1) × π
    -0.076202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23939688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2515869140625 × 2 - 1) × π
    0.496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56082545162903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23939688} λ = -0.23939688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56082545162903))-π/2
    2×atan(4.76275104359304)-π/2
    2×1.36383987117387-π/2
    2.72767974234774-1.57079632675     		φ = 1.15688342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23939688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.716431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15688342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.284537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30271 KachelY 16488 -0.23939688 1.15688342 -13.716431 66.284537
    Oben rechts KachelX + 1 30272 KachelY 16488 -0.23930100 1.15688342 -13.710937 66.284537
    Unten links KachelX 30271 KachelY + 1 16489 -0.23939688 1.15684485 -13.716431 66.282327
    Unten rechts KachelX + 1 30272 KachelY + 1 16489 -0.23930100 1.15684485 -13.710937 66.282327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15688342-1.15684485) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dl = 245.729470000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15688342-1.15684485) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dr = 245.729470000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23939688--0.23930100) × cos(1.15688342) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.40219487560849 × 6371000     		do = 245.681335013843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23939688--0.23930100) × cos(1.15684485) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.402230188230367 × 6371000     		du = 245.70290578118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15688342)-sin(1.15684485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40219487560849-0.402230188230367)×R²
    abs(-0.23930100--0.23939688)×3.53126218771149e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.53126218771149e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.53126218771149e-05×40589641000000     		ar = 60373.794535931m²