Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30269 / 42739
↖ ↑ ↗
← S 47.942107°
W 13.727417°		 ← 409.16 m → S 47.942107°
W 13.721924°		 →
↑
409.21 m
↓
↑
409.21 m
↓
S 47.945787°
W 13.727417°		 ← 409.13 m →
167 424 m²		 S 47.945787°
W 13.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461875915527344 y=0.652153015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461875915527344 × 216)
    floor (0.461875915527344 × 65536)
    floor (30269.5)     		tx = 30269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652153015136719 × 216)
    floor (0.652153015136719 × 65536)
    floor (42739.5)     		ty = 42739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30269 / 42739 ti = "16/30269/42739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30269/42739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30269 ÷ 216
    30269 ÷ 65536     		x = 0.461868286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42739 ÷ 216
    42739 ÷ 65536     		y = 0.652145385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461868286132812 × 2 - 1) × π
    -0.076263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23958862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.304290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.95595765222316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23958862} λ = -0.23958862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95595765222316))-π/2
    2×atan(0.384443804746116)-π/2
    2×0.367024356164773-π/2
    0.734048712329546-1.57079632675     		φ = -0.83674761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23958862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.727417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83674761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.942107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30269 KachelY 42739 -0.23958862 -0.83674761 -13.727417 -47.942107
    Oben rechts KachelX + 1 30270 KachelY 42739 -0.23949275 -0.83674761 -13.721924 -47.942107
    Unten links KachelX 30269 KachelY + 1 42740 -0.23958862 -0.83681184 -13.727417 -47.945787
    Unten rechts KachelX + 1 30270 KachelY + 1 42740 -0.23949275 -0.83681184 -13.721924 -47.945787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83674761--0.83681184) × R
    6.42299999999985e-05 × 6371000     		dl = 409.20932999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83674761--0.83681184) × R
    6.42299999999985e-05 × 6371000     		dr = 409.20932999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23958862--0.23949275) × cos(-0.83674761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669881161187139 × 6371000     		do = 409.155220606494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23958862--0.23949275) × cos(-0.83681184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669833471064158 × 6371000     		du = 409.126092062628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83674761)-sin(-0.83681184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669881161187139-0.669833471064158)×R²
    abs(-0.23949275--0.23958862)×4.76901229802262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76901229802262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76901229802262e-05×40589641000000     		ar = 167424.173911877m²