Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30269 / 22061
↖ ↑ ↗
← N 75.814912°
W 96.863709°		 ← 74.85 m → N 75.814912°
W 96.860962°		 →
↑
74.86 m
↓
↑
74.86 m
↓
N 75.814239°
W 96.863709°		 ← 74.85 m →
5 603 m²		 N 75.814239°
W 96.860962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230937957763672 y=0.168315887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230937957763672 × 217)
    floor (0.230937957763672 × 131072)
    floor (30269.5)     		tx = 30269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168315887451172 × 217)
    floor (0.168315887451172 × 131072)
    floor (22061.5)     		ty = 22061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30269 / 22061 ti = "17/30269/22061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30269/22061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30269 ÷ 217
    30269 ÷ 131072     		x = 0.230934143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22061 ÷ 217
    22061 ÷ 131072     		y = 0.168312072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230934143066406 × 2 - 1) × π
    -0.538131713867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.69059064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168312072753906 × 2 - 1) × π
    0.663375854492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.08405671098194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69059064} λ = -1.69059064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08405671098194))-π/2
    2×atan(8.03700668478846)-π/2
    2×1.44700808443077-π/2
    2.89401616886154-1.57079632675     		φ = 1.32321984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69059064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.863709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32321984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.814912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30269 KachelY 22061 -1.69059064 1.32321984 -96.863709 75.814912
    Oben rechts KachelX + 1 30270 KachelY 22061 -1.69054270 1.32321984 -96.860962 75.814912
    Unten links KachelX 30269 KachelY + 1 22062 -1.69059064 1.32320809 -96.863709 75.814239
    Unten rechts KachelX + 1 30270 KachelY + 1 22062 -1.69054270 1.32320809 -96.860962 75.814239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32321984-1.32320809) × R
    1.1749999999866e-05 × 6371000     		dl = 74.8592499991465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32321984-1.32320809) × R
    1.1749999999866e-05 × 6371000     		dr = 74.8592499991465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69059064--1.69054270) × cos(1.32321984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245055062951688 × 6371000     		do = 74.8461239427167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69059064--1.69054270) × cos(1.32320809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24506645466743 × 6371000     		du = 74.8496032659271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32321984)-sin(1.32320809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245055062951688-0.24506645466743)×R²
    abs(-1.69054270--1.69059064)×1.1391715742215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1391715742215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1391715742215e-05×40589641000000     		ar = 5603.05493366016m²