Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30269 / 20054
↖ ↑ ↗
← N 57.070603°
W 13.727417°		 ← 332.03 m → N 57.070603°
W 13.721924°		 →
↑
332.06 m
↓
↑
332.06 m
↓
N 57.067617°
W 13.727417°		 ← 332.05 m →
110 256 m²		 N 57.067617°
W 13.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461875915527344 y=0.306007385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461875915527344 × 216)
    floor (0.461875915527344 × 65536)
    floor (30269.5)     		tx = 30269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306007385253906 × 216)
    floor (0.306007385253906 × 65536)
    floor (20054.5)     		ty = 20054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30269 / 20054 ti = "16/30269/20054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30269/20054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30269 ÷ 216
    30269 ÷ 65536     		x = 0.461868286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20054 ÷ 216
    20054 ÷ 65536     		y = 0.305999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461868286132812 × 2 - 1) × π
    -0.076263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23958862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305999755859375 × 2 - 1) × π
    0.38800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21893948353879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23958862} λ = -0.23958862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21893948353879))-π/2
    2×atan(3.38359746937628)-π/2
    2×1.28343312742559-π/2
    2.56686625485119-1.57079632675     		φ = 0.99606993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23958862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.727417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99606993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.070603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30269 KachelY 20054 -0.23958862 0.99606993 -13.727417 57.070603
    Oben rechts KachelX + 1 30270 KachelY 20054 -0.23949275 0.99606993 -13.721924 57.070603
    Unten links KachelX 30269 KachelY + 1 20055 -0.23958862 0.99601781 -13.727417 57.067617
    Unten rechts KachelX + 1 30270 KachelY + 1 20055 -0.23949275 0.99601781 -13.721924 57.067617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99606993-0.99601781) × R
    5.21199999999888e-05 × 6371000     		dl = 332.056519999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99606993-0.99601781) × R
    5.21199999999888e-05 × 6371000     		dr = 332.056519999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23958862--0.23949275) × cos(0.99606993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543605164627481 × 6371000     		do = 332.027386263294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23958862--0.23949275) × cos(0.99601781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543648910345468 × 6371000     		du = 332.054105612831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99606993)-sin(0.99601781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543605164627481-0.543648910345468)×R²
    abs(-0.23949275--0.23958862)×4.37457179872647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37457179872647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37457179872647e-05×40589641000000     		ar = 110256.294619152m²