Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30268 / 42028
↖ ↑ ↗
← S 45.259422°
W 13.732910°		 ← 429.98 m → S 45.259422°
W 13.727417°		 →
↑
429.98 m
↓
↑
429.98 m
↓
S 45.263289°
W 13.732910°		 ← 429.95 m →
184 875 m²		 S 45.263289°
W 13.727417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461860656738281 y=0.641304016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461860656738281 × 216)
    floor (0.461860656738281 × 65536)
    floor (30268.5)     		tx = 30268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641304016113281 × 216)
    floor (0.641304016113281 × 65536)
    floor (42028.5)     		ty = 42028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30268 / 42028 ti = "16/30268/42028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30268/42028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30268 ÷ 216
    30268 ÷ 65536     		x = 0.46185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42028 ÷ 216
    42028 ÷ 65536     		y = 0.64129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.2825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.88779138096344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23968450} λ = -0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88779138096344))-π/2
    2×atan(0.411563737192111)-π/2
    2×0.390435197364372-π/2
    0.780870394728744-1.57079632675     		φ = -0.78992593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78992593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.259422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30268 KachelY 42028 -0.23968450 -0.78992593 -13.732910 -45.259422
    Oben rechts KachelX + 1 30269 KachelY 42028 -0.23958862 -0.78992593 -13.727417 -45.259422
    Unten links KachelX 30268 KachelY + 1 42029 -0.23968450 -0.78999342 -13.732910 -45.263289
    Unten rechts KachelX + 1 30269 KachelY + 1 42029 -0.23958862 -0.78999342 -13.727417 -45.263289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78992593--0.78999342) × R
    6.74899999999479e-05 × 6371000     		dl = 429.978789999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78992593--0.78999342) × R
    6.74899999999479e-05 × 6371000     		dr = 429.978789999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23968450--0.23958862) × cos(-0.78992593) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.7038979295883 × 6371000     		do = 429.977092057916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23968450--0.23958862) × cos(-0.78999342) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.703849989761532 × 6371000     		du = 429.947807943783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78992593)-sin(-0.78999342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7038979295883-0.703849989761532)×R²
    abs(-0.23958862--0.23968450)×4.79398267682063e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79398267682063e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79398267682063e-05×40589641000000     		ar = 184874.734066582m²