Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30268 / 22062
↖ ↑ ↗
← N 75.814239°
W 96.866455°		 ← 74.85 m → N 75.814239°
W 96.863709°		 →
↑
74.80 m
↓
↑
74.80 m
↓
N 75.813566°
W 96.866455°		 ← 74.85 m →
5 599 m²		 N 75.813566°
W 96.863709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230930328369141 y=0.168323516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230930328369141 × 217)
    floor (0.230930328369141 × 131072)
    floor (30268.5)     		tx = 30268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168323516845703 × 217)
    floor (0.168323516845703 × 131072)
    floor (22062.5)     		ty = 22062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30268 / 22062 ti = "17/30268/22062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30268/22062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30268 ÷ 217
    30268 ÷ 131072     		x = 0.230926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22062 ÷ 217
    22062 ÷ 131072     		y = 0.168319702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.53814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69063858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168319702148438 × 2 - 1) × π
    0.663360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08400877408232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69063858} λ = -1.69063858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08400877408232))-π/2
    2×atan(8.03662142483992)-π/2
    2×1.44700221070435-π/2
    2.8940044214087-1.57079632675     		φ = 1.32320809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69063858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32320809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.814239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30268 KachelY 22062 -1.69063858 1.32320809 -96.866455 75.814239
    Oben rechts KachelX + 1 30269 KachelY 22062 -1.69059064 1.32320809 -96.863709 75.814239
    Unten links KachelX 30268 KachelY + 1 22063 -1.69063858 1.32319635 -96.866455 75.813566
    Unten rechts KachelX + 1 30269 KachelY + 1 22063 -1.69059064 1.32319635 -96.863709 75.813566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32320809-1.32319635) × R
    1.17400000001489e-05 × 6371000     		dl = 74.7955400009483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32320809-1.32319635) × R
    1.17400000001489e-05 × 6371000     		dr = 74.7955400009483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69063858--1.69059064) × cos(1.32320809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24506645466743 × 6371000     		do = 74.8496032659271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69063858--1.69059064) × cos(1.32319635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245077836654304 × 6371000     		du = 74.8530796176908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32320809)-sin(1.32319635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24506645466743-0.245077836654304)×R²
    abs(-1.69059064--1.69063858)×1.13819868739762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13819868739762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13819868739762e-05×40589641000000     		ar = 5598.54650294314m²