Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30268 / 22060
↖ ↑ ↗
← N 75.815585°
W 96.866455°		 ← 74.84 m → N 75.815585°
W 96.863709°		 →
↑
74.86 m
↓
↑
74.86 m
↓
N 75.814912°
W 96.866455°		 ← 74.85 m →
5 603 m²		 N 75.814912°
W 96.863709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230930328369141 y=0.168308258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230930328369141 × 217)
    floor (0.230930328369141 × 131072)
    floor (30268.5)     		tx = 30268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168308258056641 × 217)
    floor (0.168308258056641 × 131072)
    floor (22060.5)     		ty = 22060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30268 / 22060 ti = "17/30268/22060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30268/22060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30268 ÷ 217
    30268 ÷ 131072     		x = 0.230926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22060 ÷ 217
    22060 ÷ 131072     		y = 0.168304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.53814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69063858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168304443359375 × 2 - 1) × π
    0.66339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08410464788156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69063858} λ = -1.69063858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08410464788156))-π/2
    2×atan(8.03739196320561)-π/2
    2×1.44701395788421-π/2
    2.89402791576842-1.57079632675     		φ = 1.32323159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69063858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32323159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.815585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30268 KachelY 22060 -1.69063858 1.32323159 -96.866455 75.815585
    Oben rechts KachelX + 1 30269 KachelY 22060 -1.69059064 1.32323159 -96.863709 75.815585
    Unten links KachelX 30268 KachelY + 1 22061 -1.69063858 1.32321984 -96.866455 75.814912
    Unten rechts KachelX + 1 30269 KachelY + 1 22061 -1.69059064 1.32321984 -96.863709 75.814912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32323159-1.32321984) × R
    1.17500000000881e-05 × 6371000     		dl = 74.8592500005611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32323159-1.32321984) × R
    1.17500000000881e-05 × 6371000     		dr = 74.8592500005611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69063858--1.69059064) × cos(1.32323159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245043671202112 × 6371000     		do = 74.8426446091727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69063858--1.69059064) × cos(1.32321984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245055062951688 × 6371000     		du = 74.8461239427167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32323159)-sin(1.32321984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245043671202112-0.245055062951688)×R²
    abs(-1.69059064--1.69063858)×1.13917495753457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13917495753457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13917495753457e-05×40589641000000     		ar = 5602.79447361113m²