Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30267 / 22059
↖ ↑ ↗
← N 75.816259°
W 96.869202°		 ← 74.82 m → N 75.816259°
W 96.866455°		 →
↑
74.86 m
↓
↑
74.86 m
↓
N 75.815585°
W 96.869202°		 ← 74.83 m →
5 601 m²		 N 75.815585°
W 96.866455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230922698974609 y=0.168300628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230922698974609 × 217)
    floor (0.230922698974609 × 131072)
    floor (30267.5)     		tx = 30267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168300628662109 × 217)
    floor (0.168300628662109 × 131072)
    floor (22059.5)     		ty = 22059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30267 / 22059 ti = "17/30267/22059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30267/22059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30267 ÷ 217
    30267 ÷ 131072     		x = 0.230918884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22059 ÷ 217
    22059 ÷ 131072     		y = 0.168296813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230918884277344 × 2 - 1) × π
    -0.538162231445312 × 3.1415926535     		Λ = -1.69068651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168296813964844 × 2 - 1) × π
    0.663406372070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.08415258478118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69068651} λ = -1.69068651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08415258478118))-π/2
    2×atan(8.03777726009225)-π/2
    2×1.44701983106469-π/2
    2.89403966212938-1.57079632675     		φ = 1.32324334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69068651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.869202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32324334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.816259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30267 KachelY 22059 -1.69068651 1.32324334 -96.869202 75.816259
    Oben rechts KachelX + 1 30268 KachelY 22059 -1.69063858 1.32324334 -96.866455 75.816259
    Unten links KachelX 30267 KachelY + 1 22060 -1.69068651 1.32323159 -96.869202 75.815585
    Unten rechts KachelX + 1 30268 KachelY + 1 22060 -1.69063858 1.32323159 -96.866455 75.815585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32324334-1.32323159) × R
    1.17500000000881e-05 × 6371000     		dl = 74.8592500005611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32324334-1.32323159) × R
    1.17500000000881e-05 × 6371000     		dr = 74.8592500005611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69068651--1.69063858) × cos(1.32324334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.245032279418705 × 6371000     		do = 74.8235542588689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69068651--1.69063858) × cos(1.32323159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.245043671202112 × 6371000     		du = 74.8270328769753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32324334)-sin(1.32323159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245032279418705-0.245043671202112)×R²
    abs(-1.69063858--1.69068651)×1.13917834067001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13917834067001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13917834067001e-05×40589641000000     		ar = 5601.36535773181m²