Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30267 / 20068
↖ ↑ ↗
← N 57.028774°
W 13.738403°		 ← 332.40 m → N 57.028774°
W 13.732910°		 →
↑
332.44 m
↓
↑
332.44 m
↓
N 57.025784°
W 13.738403°		 ← 332.43 m →
110 508 m²		 N 57.025784°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461845397949219 y=0.306221008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461845397949219 × 216)
    floor (0.461845397949219 × 65536)
    floor (30267.5)     		tx = 30267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306221008300781 × 216)
    floor (0.306221008300781 × 65536)
    floor (20068.5)     		ty = 20068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30267 / 20068 ti = "16/30267/20068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30267/20068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30267 ÷ 216
    30267 ÷ 65536     		x = 0.461837768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20068 ÷ 216
    20068 ÷ 65536     		y = 0.30621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461837768554688 × 2 - 1) × π
    -0.076324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23978037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30621337890625 × 2 - 1) × π
    0.3875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21759725034943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23978037} λ = -0.23978037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21759725034943))-π/2
    2×atan(3.37905893911779)-π/2
    2×1.28306809942986-π/2
    2.56613619885972-1.57079632675     		φ = 0.99533987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23978037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.738403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99533987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.028774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30267 KachelY 20068 -0.23978037 0.99533987 -13.738403 57.028774
    Oben rechts KachelX + 1 30268 KachelY 20068 -0.23968450 0.99533987 -13.732910 57.028774
    Unten links KachelX 30267 KachelY + 1 20069 -0.23978037 0.99528769 -13.738403 57.025784
    Unten rechts KachelX + 1 30268 KachelY + 1 20069 -0.23968450 0.99528769 -13.732910 57.025784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99533987-0.99528769) × R
    5.21800000000683e-05 × 6371000     		dl = 332.438780000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99533987-0.99528769) × R
    5.21800000000683e-05 × 6371000     		dr = 332.438780000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23978037--0.23968450) × cos(0.99533987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544217789044254 × 6371000     		do = 332.401569764663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23978037--0.23968450) × cos(0.99528769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544261564400117 × 6371000     		du = 332.428307216652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99533987)-sin(0.99528769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544217789044254-0.544261564400117)×R²
    abs(-0.23968450--0.23978037)×4.37753558628629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37753558628629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37753558628629e-05×40589641000000     		ar = 110507.616630807m²