Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30267 / 19987
↖ ↑ ↗
← N 57.270134°
W 13.738403°		 ← 330.24 m → N 57.270134°
W 13.732910°		 →
↑
330.27 m
↓
↑
330.27 m
↓
N 57.267164°
W 13.738403°		 ← 330.27 m →
109 074 m²		 N 57.267164°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461845397949219 y=0.304985046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461845397949219 × 216)
    floor (0.461845397949219 × 65536)
    floor (30267.5)     		tx = 30267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304985046386719 × 216)
    floor (0.304985046386719 × 65536)
    floor (19987.5)     		ty = 19987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30267 / 19987 ti = "16/30267/19987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30267/19987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30267 ÷ 216
    30267 ÷ 65536     		x = 0.461837768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19987 ÷ 216
    19987 ÷ 65536     		y = 0.304977416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461837768554688 × 2 - 1) × π
    -0.076324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23978037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304977416992188 × 2 - 1) × π
    0.390045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22536302808788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23978037} λ = -0.23978037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22536302808788))-π/2
    2×atan(3.4054021150383)-π/2
    2×1.28517436170392-π/2
    2.57034872340784-1.57079632675     		φ = 0.99955240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23978037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.738403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99955240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.270134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30267 KachelY 19987 -0.23978037 0.99955240 -13.738403 57.270134
    Oben rechts KachelX + 1 30268 KachelY 19987 -0.23968450 0.99955240 -13.732910 57.270134
    Unten links KachelX 30267 KachelY + 1 19988 -0.23978037 0.99950056 -13.738403 57.267164
    Unten rechts KachelX + 1 30268 KachelY + 1 19988 -0.23968450 0.99950056 -13.732910 57.267164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99955240-0.99950056) × R
    5.18400000000252e-05 × 6371000     		dl = 330.272640000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99955240-0.99950056) × R
    5.18400000000252e-05 × 6371000     		dr = 330.272640000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23978037--0.23968450) × cos(0.99955240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540678894144726 × 6371000     		do = 330.240056040716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23978037--0.23968450) × cos(0.99950056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540722502732733 × 6371000     		du = 330.266691632938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99955240)-sin(0.99950056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540678894144726-0.540722502732733)×R²
    abs(-0.23968450--0.23978037)×4.36085880073378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36085880073378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36085880073378e-05×40589641000000     		ar = 109073.653670487m²