Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30267 / 16486
↖ ↑ ↗
← N 66.288955°
W 13.738403°		 ← 245.61 m → N 66.288955°
W 13.732910°		 →
↑
245.67 m
↓
↑
245.67 m
↓
N 66.286746°
W 13.738403°		 ← 245.63 m →
60 341 m²		 N 66.286746°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461845397949219 y=0.251564025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461845397949219 × 216)
    floor (0.461845397949219 × 65536)
    floor (30267.5)     		tx = 30267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251564025878906 × 216)
    floor (0.251564025878906 × 65536)
    floor (16486.5)     		ty = 16486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30267 / 16486 ti = "16/30267/16486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30267/16486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30267 ÷ 216
    30267 ÷ 65536     		x = 0.461837768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16486 ÷ 216
    16486 ÷ 65536     		y = 0.251556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461837768554688 × 2 - 1) × π
    -0.076324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23978037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251556396484375 × 2 - 1) × π
    0.49688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56101719922751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23978037} λ = -0.23978037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56101719922751))-π/2
    2×atan(4.76366437722977)-π/2
    2×1.36387842774048-π/2
    2.72775685548096-1.57079632675     		φ = 1.15696053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23978037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.738403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15696053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.288955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30267 KachelY 16486 -0.23978037 1.15696053 -13.738403 66.288955
    Oben rechts KachelX + 1 30268 KachelY 16486 -0.23968450 1.15696053 -13.732910 66.288955
    Unten links KachelX 30267 KachelY + 1 16487 -0.23978037 1.15692197 -13.738403 66.286746
    Unten rechts KachelX + 1 30268 KachelY + 1 16487 -0.23968450 1.15692197 -13.732910 66.286746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15696053-1.15692197) × R
    3.85600000001318e-05 × 6371000     		dl = 245.66576000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15696053-1.15692197) × R
    3.85600000001318e-05 × 6371000     		dr = 245.66576000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23978037--0.23968450) × cos(1.15696053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402124276037372 × 6371000     		do = 245.612589823726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23978037--0.23968450) × cos(1.15692197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402159580699682 × 6371000     		du = 245.634153479688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15696053)-sin(1.15692197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402124276037372-0.402159580699682)×R²
    abs(-0.23968450--0.23978037)×3.53046623097764e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53046623097764e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53046623097764e-05×40589641000000     		ar = 60341.2522781643m²