Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30266 / 42645
↖ ↑ ↗
← S 47.595051°
W 13.743897°		 ← 411.94 m → S 47.595051°
W 13.738403°		 →
↑
411.89 m
↓
↑
411.89 m
↓
S 47.598755°
W 13.743897°		 ← 411.91 m →
169 665 m²		 S 47.598755°
W 13.738403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461830139160156 y=0.650718688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461830139160156 × 216)
    floor (0.461830139160156 × 65536)
    floor (30266.5)     		tx = 30266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650718688964844 × 216)
    floor (0.650718688964844 × 65536)
    floor (42645.5)     		ty = 42645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30266 / 42645 ti = "16/30266/42645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30266/42645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30266 ÷ 216
    30266 ÷ 65536     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42645 ÷ 216
    42645 ÷ 65536     		y = 0.650711059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650711059570312 × 2 - 1) × π
    -0.301422119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946945515094589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946945515094589))-π/2
    2×atan(0.387924124034529)-π/2
    2×0.370052989500152-π/2
    0.740105979000305-1.57079632675     		φ = -0.83069035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83069035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.595051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30266 KachelY 42645 -0.23987625 -0.83069035 -13.743897 -47.595051
    Oben rechts KachelX + 1 30267 KachelY 42645 -0.23978037 -0.83069035 -13.738403 -47.595051
    Unten links KachelX 30266 KachelY + 1 42646 -0.23987625 -0.83075500 -13.743897 -47.598755
    Unten rechts KachelX + 1 30267 KachelY + 1 42646 -0.23978037 -0.83075500 -13.738403 -47.598755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83069035--0.83075500) × R
    6.46499999999994e-05 × 6371000     		dl = 411.885149999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83069035--0.83075500) × R
    6.46499999999994e-05 × 6371000     		dr = 411.885149999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23978037) × cos(-0.83069035) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.674366168372494 × 6371000     		do = 411.937572012355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23978037) × cos(-0.83075500) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.674318429590991 × 6371000     		du = 411.90841070702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83069035)-sin(-0.83075500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674366168372494-0.674318429590991)×R²
    abs(-0.23978037--0.23987625)×4.77387815024377e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.77387815024377e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.77387815024377e-05×40589641000000     		ar = 169664.963143665m²