Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30266 / 20066
↖ ↑ ↗
← N 57.034753°
W 13.743897°		 ← 332.38 m → N 57.034753°
W 13.738403°		 →
↑
332.38 m
↓
↑
332.38 m
↓
N 57.031763°
W 13.743897°		 ← 332.41 m →
110 480 m²		 N 57.031763°
W 13.738403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461830139160156 y=0.306190490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461830139160156 × 216)
    floor (0.461830139160156 × 65536)
    floor (30266.5)     		tx = 30266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306190490722656 × 216)
    floor (0.306190490722656 × 65536)
    floor (20066.5)     		ty = 20066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30266 / 20066 ti = "16/30266/20066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30266/20066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30266 ÷ 216
    30266 ÷ 65536     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20066 ÷ 216
    20066 ÷ 65536     		y = 0.306182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306182861328125 × 2 - 1) × π
    0.38763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21778899794791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21778899794791))-π/2
    2×atan(3.37970692767763)-π/2
    2×1.2831202714602-π/2
    2.5662405429204-1.57079632675     		φ = 0.99544422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99544422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.034753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30266 KachelY 20066 -0.23987625 0.99544422 -13.743897 57.034753
    Oben rechts KachelX + 1 30267 KachelY 20066 -0.23978037 0.99544422 -13.738403 57.034753
    Unten links KachelX 30266 KachelY + 1 20067 -0.23987625 0.99539205 -13.743897 57.031763
    Unten rechts KachelX + 1 30267 KachelY + 1 20067 -0.23978037 0.99539205 -13.738403 57.031763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99544422-0.99539205) × R
    5.2170000000018e-05 × 6371000     		dl = 332.375070000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99544422-0.99539205) × R
    5.2170000000018e-05 × 6371000     		dr = 332.375070000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23978037) × cos(0.99544422) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.544130242277345 × 6371000     		do = 332.382763807945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23978037) × cos(0.99539205) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.544174012206621 × 6371000     		du = 332.409500734023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99544422)-sin(0.99539205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544130242277345-0.544174012206621)×R²
    abs(-0.23978037--0.23987625)×4.37699292765714e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.37699292765714e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.37699292765714e-05×40589641000000     		ar = 110480.187756423m²