Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30266 / 20053
↖ ↑ ↗
← N 57.073589°
W 13.743897°		 ← 332.04 m → N 57.073589°
W 13.738403°		 →
↑
331.99 m
↓
↑
331.99 m
↓
N 57.070603°
W 13.743897°		 ← 332.06 m →
110 238 m²		 N 57.070603°
W 13.738403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461830139160156 y=0.305992126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461830139160156 × 216)
    floor (0.461830139160156 × 65536)
    floor (30266.5)     		tx = 30266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305992126464844 × 216)
    floor (0.305992126464844 × 65536)
    floor (20053.5)     		ty = 20053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30266 / 20053 ti = "16/30266/20053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30266/20053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30266 ÷ 216
    30266 ÷ 65536     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20053 ÷ 216
    20053 ÷ 65536     		y = 0.305984497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305984497070312 × 2 - 1) × π
    0.388031005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21903535733803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21903535733803))-π/2
    2×atan(3.38392188327191)-π/2
    2×1.28345918512341-π/2
    2.56691837024683-1.57079632675     		φ = 0.99612204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99612204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.073589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30266 KachelY 20053 -0.23987625 0.99612204 -13.743897 57.073589
    Oben rechts KachelX + 1 30267 KachelY 20053 -0.23978037 0.99612204 -13.738403 57.073589
    Unten links KachelX 30266 KachelY + 1 20054 -0.23987625 0.99606993 -13.743897 57.070603
    Unten rechts KachelX + 1 30267 KachelY + 1 20054 -0.23978037 0.99606993 -13.738403 57.070603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99612204-0.99606993) × R
    5.21100000000496e-05 × 6371000     		dl = 331.992810000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99612204-0.99606993) × R
    5.21100000000496e-05 × 6371000     		dr = 331.992810000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23978037) × cos(0.99612204) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.543561425826487 × 6371000     		do = 332.03530143709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23978037) × cos(0.99606993) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.543605164627481 × 6371000     		du = 332.062019348411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99612204)-sin(0.99606993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543561425826487-0.543605164627481)×R²
    abs(-0.23978037--0.23987625)×4.37388009938422e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.37388009938422e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.37388009938422e-05×40589641000000     		ar = 110237.767845626m²