Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30265 / 42644
↖ ↑ ↗
← S 47.591346°
W 13.749390°		 ← 411.92 m → S 47.591346°
W 13.743897°		 →
↑
411.95 m
↓
↑
411.95 m
↓
S 47.595051°
W 13.749390°		 ← 411.89 m →
169 686 m²		 S 47.595051°
W 13.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461814880371094 y=0.650703430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461814880371094 × 216)
    floor (0.461814880371094 × 65536)
    floor (30265.5)     		tx = 30265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650703430175781 × 216)
    floor (0.650703430175781 × 65536)
    floor (42644.5)     		ty = 42644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30265 / 42644 ti = "16/30265/42644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30265/42644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30265 ÷ 216
    30265 ÷ 65536     		x = 0.461807250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42644 ÷ 216
    42644 ÷ 65536     		y = 0.65069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461807250976562 × 2 - 1) × π
    -0.076385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23997212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946849641295349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23997212} λ = -0.23997212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946849641295349))-π/2
    2×atan(0.387961317577032)-π/2
    2×0.370085317667818-π/2
    0.740170635335636-1.57079632675     		φ = -0.83062569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23997212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83062569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.591346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30265 KachelY 42644 -0.23997212 -0.83062569 -13.749390 -47.591346
    Oben rechts KachelX + 1 30266 KachelY 42644 -0.23987625 -0.83062569 -13.743897 -47.591346
    Unten links KachelX 30265 KachelY + 1 42645 -0.23997212 -0.83069035 -13.749390 -47.595051
    Unten rechts KachelX + 1 30266 KachelY + 1 42645 -0.23987625 -0.83069035 -13.743897 -47.595051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83062569--0.83069035) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dl = 411.948860000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83062569--0.83069035) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dr = 411.948860000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23997212--0.23987625) × cos(-0.83062569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674413911718935 × 6371000     		do = 411.923769195776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23997212--0.23987625) × cos(-0.83069035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674366168372494 × 6371000     		du = 411.894608143671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83062569)-sin(-0.83069035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674413911718935-0.674366168372494)×R²
    abs(-0.23987625--0.23997212)×4.77433464414201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77433464414201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77433464414201e-05×40589641000000     		ar = 169685.520755068m²