Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30265 / 42102
↖ ↑ ↗
← S 45.544832°
W 13.749390°		 ← 427.77 m → S 45.544832°
W 13.743897°		 →
↑
427.75 m
↓
↑
427.75 m
↓
S 45.548679°
W 13.749390°		 ← 427.74 m →
182 970 m²		 S 45.548679°
W 13.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461814880371094 y=0.642433166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461814880371094 × 216)
    floor (0.461814880371094 × 65536)
    floor (30265.5)     		tx = 30265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642433166503906 × 216)
    floor (0.642433166503906 × 65536)
    floor (42102.5)     		ty = 42102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30265 / 42102 ti = "16/30265/42102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30265/42102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30265 ÷ 216
    30265 ÷ 65536     		x = 0.461807250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42102 ÷ 216
    42102 ÷ 65536     		y = 0.642425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461807250976562 × 2 - 1) × π
    -0.076385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23997212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.28485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894886042107208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23997212} λ = -0.23997212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894886042107208))-π/2
    2×atan(0.40865416535504)-π/2
    2×0.387944530001999-π/2
    0.775889060003997-1.57079632675     		φ = -0.79490727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23997212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79490727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.544832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30265 KachelY 42102 -0.23997212 -0.79490727 -13.749390 -45.544832
    Oben rechts KachelX + 1 30266 KachelY 42102 -0.23987625 -0.79490727 -13.743897 -45.544832
    Unten links KachelX 30265 KachelY + 1 42103 -0.23997212 -0.79497441 -13.749390 -45.548679
    Unten rechts KachelX + 1 30266 KachelY + 1 42103 -0.23987625 -0.79497441 -13.743897 -45.548679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79490727--0.79497441) × R
    6.71399999999656e-05 × 6371000     		dl = 427.748939999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79490727--0.79497441) × R
    6.71399999999656e-05 × 6371000     		dr = 427.748939999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23997212--0.23987625) × cos(-0.79490727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700350959602208 × 6371000     		do = 427.765800832783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23997212--0.23987625) × cos(-0.79497441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700303033581398 × 6371000     		du = 427.736528205408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79490727)-sin(-0.79497441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700350959602208-0.700303033581398)×R²
    abs(-0.23987625--0.23997212)×4.79260208097188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79260208097188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79260208097188e-05×40589641000000     		ar = 182970.107275377m²