Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30265 / 16481
↖ ↑ ↗
← N 66.299997°
W 13.749390°		 ← 245.50 m → N 66.299997°
W 13.743897°		 →
↑
245.54 m
↓
↑
245.54 m
↓
N 66.297789°
W 13.749390°		 ← 245.53 m →
60 283 m²		 N 66.297789°
W 13.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461814880371094 y=0.251487731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461814880371094 × 216)
    floor (0.461814880371094 × 65536)
    floor (30265.5)     		tx = 30265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251487731933594 × 216)
    floor (0.251487731933594 × 65536)
    floor (16481.5)     		ty = 16481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30265 / 16481 ti = "16/30265/16481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30265/16481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30265 ÷ 216
    30265 ÷ 65536     		x = 0.461807250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16481 ÷ 216
    16481 ÷ 65536     		y = 0.251480102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461807250976562 × 2 - 1) × π
    -0.076385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23997212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251480102539062 × 2 - 1) × π
    0.497039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56149656822371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23997212} λ = -0.23997212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56149656822371))-π/2
    2×atan(4.76594847766025)-π/2
    2×1.36397478954715-π/2
    2.72794957909431-1.57079632675     		φ = 1.15715325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23997212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15715325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.299997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30265 KachelY 16481 -0.23997212 1.15715325 -13.749390 66.299997
    Oben rechts KachelX + 1 30266 KachelY 16481 -0.23987625 1.15715325 -13.743897 66.299997
    Unten links KachelX 30265 KachelY + 1 16482 -0.23997212 1.15711471 -13.749390 66.297789
    Unten rechts KachelX + 1 30266 KachelY + 1 16482 -0.23987625 1.15711471 -13.743897 66.297789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15715325-1.15711471) × R
    3.85399999998093e-05 × 6371000     		dl = 245.538339998785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15715325-1.15711471) × R
    3.85399999998093e-05 × 6371000     		dr = 245.538339998785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23997212--0.23987625) × cos(1.15715325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401947817011262 × 6371000     		do = 245.504810808671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23997212--0.23987625) × cos(1.15711471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401983106348405 × 6371000     		du = 245.52636510421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15715325)-sin(1.15711471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401947817011262-0.401983106348405)×R²
    abs(-0.23987625--0.23997212)×3.52893371428076e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52893371428076e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52893371428076e-05×40589641000000     		ar = 60283.4899178901m²