Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30263 / 20002
↖ ↑ ↗
← N 57.225556°
W 13.760376°		 ← 330.67 m → N 57.225556°
W 13.754883°		 →
↑
330.65 m
↓
↑
330.65 m
↓
N 57.222582°
W 13.760376°		 ← 330.70 m →
109 343 m²		 N 57.222582°
W 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461784362792969 y=0.305213928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461784362792969 × 216)
    floor (0.461784362792969 × 65536)
    floor (30263.5)     		tx = 30263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305213928222656 × 216)
    floor (0.305213928222656 × 65536)
    floor (20002.5)     		ty = 20002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30263 / 20002 ti = "16/30263/20002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30263/20002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30263 ÷ 216
    30263 ÷ 65536     		x = 0.461776733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20002 ÷ 216
    20002 ÷ 65536     		y = 0.305206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461776733398438 × 2 - 1) × π
    -0.076446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24016387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305206298828125 × 2 - 1) × π
    0.38958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22392492109927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24016387} λ = -0.24016387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22392492109927))-π/2
    2×atan(3.40050830221431)-π/2
    2×1.28478534943127-π/2
    2.56957069886255-1.57079632675     		φ = 0.99877437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24016387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.760376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99877437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.225556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30263 KachelY 20002 -0.24016387 0.99877437 -13.760376 57.225556
    Oben rechts KachelX + 1 30264 KachelY 20002 -0.24006799 0.99877437 -13.754883 57.225556
    Unten links KachelX 30263 KachelY + 1 20003 -0.24016387 0.99872247 -13.760376 57.222582
    Unten rechts KachelX + 1 30264 KachelY + 1 20003 -0.24006799 0.99872247 -13.754883 57.222582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99877437-0.99872247) × R
    5.18999999999936e-05 × 6371000     		dl = 330.654899999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99877437-0.99872247) × R
    5.18999999999936e-05 × 6371000     		dr = 330.654899999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24016387--0.24006799) × cos(0.99877437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541333231880435 × 6371000     		do = 330.674205867322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24016387--0.24006799) × cos(0.99872247) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541376869093928 × 6371000     		du = 330.700861723767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99877437)-sin(0.99872247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541333231880435-0.541376869093928)×R²
    abs(-0.24006799--0.24016387)×4.36372134925422e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36372134925422e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36372134925422e-05×40589641000000     		ar = 109343.453443132m²