Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30261 / 41762
↖ ↑ ↗
← S 44.221584°
W 13.771362°		 ← 437.72 m → S 44.221584°
W 13.765869°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
S 44.225520°
W 13.771362°		 ← 437.69 m →
191 578 m²		 S 44.225520°
W 13.765869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461753845214844 y=0.637245178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461753845214844 × 216)
    floor (0.461753845214844 × 65536)
    floor (30261.5)     		tx = 30261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637245178222656 × 216)
    floor (0.637245178222656 × 65536)
    floor (41762.5)     		ty = 41762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30261 / 41762 ti = "16/30261/41762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30261/41762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30261 ÷ 216
    30261 ÷ 65536     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41762 ÷ 216
    41762 ÷ 65536     		y = 0.637237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.27447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86228895036557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86228895036557))-π/2
    2×atan(0.422194593004654)-π/2
    2×0.399492044829423-π/2
    0.798984089658846-1.57079632675     		φ = -0.77181224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77181224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.221584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30261 KachelY 41762 -0.24035561 -0.77181224 -13.771362 -44.221584
    Oben rechts KachelX + 1 30262 KachelY 41762 -0.24025974 -0.77181224 -13.765869 -44.221584
    Unten links KachelX 30261 KachelY + 1 41763 -0.24035561 -0.77188094 -13.771362 -44.225520
    Unten rechts KachelX + 1 30262 KachelY + 1 41763 -0.24025974 -0.77188094 -13.765869 -44.225520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77181224--0.77188094) × R
    6.86999999999216e-05 × 6371000     		dl = 437.687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77181224--0.77188094) × R
    6.86999999999216e-05 × 6371000     		dr = 437.687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24025974) × cos(-0.77181224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716647927290886 × 6371000     		do = 437.719789385113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24025974) × cos(-0.77188094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716600011806918 × 6371000     		du = 437.690523193512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77181224)-sin(-0.77188094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716647927290886-0.716600011806918)×R²
    abs(-0.24025974--0.24035561)×4.79154839680973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79154839680973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79154839680973e-05×40589641000000     		ar = 191578.163209693m²