Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30261 / 17201
↖ ↑ ↗
← N 64.659167°
W 13.771362°		 ← 261.42 m → N 64.659167°
W 13.765869°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
N 64.656815°
W 13.771362°		 ← 261.44 m →
68 355 m²		 N 64.656815°
W 13.765869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461753845214844 y=0.262474060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461753845214844 × 216)
    floor (0.461753845214844 × 65536)
    floor (30261.5)     		tx = 30261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262474060058594 × 216)
    floor (0.262474060058594 × 65536)
    floor (17201.5)     		ty = 17201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30261 / 17201 ti = "16/30261/17201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30261/17201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30261 ÷ 216
    30261 ÷ 65536     		x = 0.461746215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17201 ÷ 216
    17201 ÷ 65536     		y = 0.262466430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    -0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262466430664062 × 2 - 1) × π
    0.475067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49246743277083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24035561} λ = -0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49246743277083))-π/2
    2×atan(4.4480572720274)-π/2
    2×1.34965583613454-π/2
    2.69931167226909-1.57079632675     		φ = 1.12851535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12851535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.659167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30261 KachelY 17201 -0.24035561 1.12851535 -13.771362 64.659167
    Oben rechts KachelX + 1 30262 KachelY 17201 -0.24025974 1.12851535 -13.765869 64.659167
    Unten links KachelX 30261 KachelY + 1 17202 -0.24035561 1.12847431 -13.771362 64.656815
    Unten rechts KachelX + 1 30262 KachelY + 1 17202 -0.24025974 1.12847431 -13.765869 64.656815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12851535-1.12847431) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dl = 261.465839999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12851535-1.12847431) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dr = 261.465839999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24035561--0.24025974) × cos(1.12851535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428002072775225 × 6371000     		do = 261.418431585751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24035561--0.24025974) × cos(1.12847431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428039163453734 × 6371000     		du = 261.441086118566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12851535)-sin(1.12847431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428002072775225-0.428039163453734)×R²
    abs(-0.24025974--0.24035561)×3.70906785092662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70906785092662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70906785092662e-05×40589641000000     		ar = 68354.9515087925m²