Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30260 / 42068
↖ ↑ ↗
← S 45.413876°
W 13.776856°		 ← 428.81 m → S 45.413876°
W 13.771362°		 →
↑
428.77 m
↓
↑
428.77 m
↓
S 45.417732°
W 13.776856°		 ← 428.78 m →
183 852 m²		 S 45.417732°
W 13.771362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461738586425781 y=0.641914367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461738586425781 × 216)
    floor (0.461738586425781 × 65536)
    floor (30260.5)     		tx = 30260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641914367675781 × 216)
    floor (0.641914367675781 × 65536)
    floor (42068.5)     		ty = 42068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30260 / 42068 ti = "16/30260/42068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30260/42068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30260 ÷ 216
    30260 ÷ 65536     		x = 0.46173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42068 ÷ 216
    42068 ÷ 65536     		y = 0.64190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24045149} λ = -0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891626332933044))-π/2
    2×atan(0.409988432566984)-π/2
    2×0.389087328238754-π/2
    0.778174656477509-1.57079632675     		φ = -0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30260 KachelY 42068 -0.24045149 -0.79262167 -13.776856 -45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 30261 KachelY 42068 -0.24035561 -0.79262167 -13.771362 -45.413876
    Unten links KachelX 30260 KachelY + 1 42069 -0.24045149 -0.79268897 -13.776856 -45.417732
    Unten rechts KachelX + 1 30261 KachelY + 1 42069 -0.24035561 -0.79268897 -13.771362 -45.417732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79262167--0.79268897) × R
    6.73000000001034e-05 × 6371000     		dl = 428.768300000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79262167--0.79268897) × R
    6.73000000001034e-05 × 6371000     		dr = 428.768300000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24045149--0.24035561) × cos(-0.79262167) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 428.805880564184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24045149--0.24035561) × cos(-0.79268897) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.701932654718933 × 6371000     		du = 428.776600995356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79262167)-sin(-0.79268897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.701932654718933)×R²
    abs(-0.24035561--0.24045149)×4.79323858355585e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79323858355585e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79323858355585e-05×40589641000000     		ar = 183852.09143392m²