Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30260 / 20006
↖ ↑ ↗
← N 57.213660°
W 13.776856°		 ← 330.78 m → N 57.213660°
W 13.771362°		 →
↑
330.78 m
↓
↑
330.78 m
↓
N 57.210685°
W 13.776856°		 ← 330.81 m →
109 421 m²		 N 57.210685°
W 13.771362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461738586425781 y=0.305274963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461738586425781 × 216)
    floor (0.461738586425781 × 65536)
    floor (30260.5)     		tx = 30260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305274963378906 × 216)
    floor (0.305274963378906 × 65536)
    floor (20006.5)     		ty = 20006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30260 / 20006 ti = "16/30260/20006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30260/20006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30260 ÷ 216
    30260 ÷ 65536     		x = 0.46173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20006 ÷ 216
    20006 ÷ 65536     		y = 0.305267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305267333984375 × 2 - 1) × π
    0.38946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22354142590231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24045149} λ = -0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22354142590231))-π/2
    2×atan(3.39920447363516)-π/2
    2×1.28468153334853-π/2
    2.56936306669706-1.57079632675     		φ = 0.99856674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99856674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.213660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30260 KachelY 20006 -0.24045149 0.99856674 -13.776856 57.213660
    Oben rechts KachelX + 1 30261 KachelY 20006 -0.24035561 0.99856674 -13.771362 57.213660
    Unten links KachelX 30260 KachelY + 1 20007 -0.24045149 0.99851482 -13.776856 57.210685
    Unten rechts KachelX + 1 30261 KachelY + 1 20007 -0.24035561 0.99851482 -13.771362 57.210685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99856674-0.99851482) × R
    5.19199999999831e-05 × 6371000     		dl = 330.782319999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99856674-0.99851482) × R
    5.19199999999831e-05 × 6371000     		dr = 330.782319999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24045149--0.24035561) × cos(0.99856674) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541507797205258 × 6371000     		do = 330.780839354347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24045149--0.24035561) × cos(0.99851482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541551445397522 × 6371000     		du = 330.80750191719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99856674)-sin(0.99851482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541507797205258-0.541551445397522)×R²
    abs(-0.24035561--0.24045149)×4.36481922638787e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36481922638787e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36481922638787e-05×40589641000000     		ar = 109420.863230002m²