Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30259 / 41259
↖ ↑ ↗
← S 42.208176°
W 13.782349°		 ← 452.42 m → S 42.208176°
W 13.776856°		 →
↑
452.40 m
↓
↑
452.40 m
↓
S 42.212245°
W 13.782349°		 ← 452.39 m →
204 668 m²		 S 42.212245°
W 13.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461723327636719 y=0.629570007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461723327636719 × 216)
    floor (0.461723327636719 × 65536)
    floor (30259.5)     		tx = 30259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629570007324219 × 216)
    floor (0.629570007324219 × 65536)
    floor (41259.5)     		ty = 41259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30259 / 41259 ti = "16/30259/41259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30259/41259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30259 ÷ 216
    30259 ÷ 65536     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41259 ÷ 216
    41259 ÷ 65536     		y = 0.629562377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629562377929688 × 2 - 1) × π
    -0.259124755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814064429347794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814064429347794))-π/2
    2×atan(0.443053641505399)-π/2
    2×0.417062338166878-π/2
    0.834124676333756-1.57079632675     		φ = -0.73667165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73667165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.208176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30259 KachelY 41259 -0.24054736 -0.73667165 -13.782349 -42.208176
    Oben rechts KachelX + 1 30260 KachelY 41259 -0.24045149 -0.73667165 -13.776856 -42.208176
    Unten links KachelX 30259 KachelY + 1 41260 -0.24054736 -0.73674266 -13.782349 -42.212245
    Unten rechts KachelX + 1 30260 KachelY + 1 41260 -0.24045149 -0.73674266 -13.776856 -42.212245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73667165--0.73674266) × R
    7.10099999999825e-05 × 6371000     		dl = 452.404709999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73667165--0.73674266) × R
    7.10099999999825e-05 × 6371000     		dr = 452.404709999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24045149) × cos(-0.73667165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740708730414912 × 6371000     		do = 452.415833669646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24045149) × cos(-0.73674266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740661022161943 × 6371000     		du = 452.386694052204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73667165)-sin(-0.73674266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740708730414912-0.740661022161943)×R²
    abs(-0.24045149--0.24054736)×4.77082529689588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77082529689588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77082529689588e-05×40589641000000     		ar = 204668.46266636m²