Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30259 / 20049
↖ ↑ ↗
← N 57.085530°
W 13.782349°		 ← 331.89 m → N 57.085530°
W 13.776856°		 →
↑
331.93 m
↓
↑
331.93 m
↓
N 57.082545°
W 13.782349°		 ← 331.92 m →
110 170 m²		 N 57.082545°
W 13.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461723327636719 y=0.305931091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461723327636719 × 216)
    floor (0.461723327636719 × 65536)
    floor (30259.5)     		tx = 30259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305931091308594 × 216)
    floor (0.305931091308594 × 65536)
    floor (20049.5)     		ty = 20049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30259 / 20049 ti = "16/30259/20049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30259/20049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30259 ÷ 216
    30259 ÷ 65536     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20049 ÷ 216
    20049 ÷ 65536     		y = 0.305923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305923461914062 × 2 - 1) × π
    0.388153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21941885253499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21941885253499))-π/2
    2×atan(3.38521984992712)-π/2
    2×1.28356339494697-π/2
    2.56712678989393-1.57079632675     		φ = 0.99633046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99633046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.085530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30259 KachelY 20049 -0.24054736 0.99633046 -13.782349 57.085530
    Oben rechts KachelX + 1 30260 KachelY 20049 -0.24045149 0.99633046 -13.776856 57.085530
    Unten links KachelX 30259 KachelY + 1 20050 -0.24054736 0.99627836 -13.782349 57.082545
    Unten rechts KachelX + 1 30260 KachelY + 1 20050 -0.24045149 0.99627836 -13.776856 57.082545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99633046-0.99627836) × R
    5.20999999999994e-05 × 6371000     		dl = 331.929099999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99633046-0.99627836) × R
    5.20999999999994e-05 × 6371000     		dr = 331.929099999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24045149) × cos(0.99633046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543386472653203 × 6371000     		do = 331.893811880008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24045149) × cos(0.99627836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543430208962434 × 6371000     		du = 331.920525482792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99633046)-sin(0.99627836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543386472653203-0.543430208962434)×R²
    abs(-0.24045149--0.24054736)×4.37363092312681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37363092312681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37363092312681e-05×40589641000000     		ar = 110169.647808965m²