Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30259 / 19919
↖ ↑ ↗
← N 57.471543°
W 13.782349°		 ← 328.43 m → N 57.471543°
W 13.776856°		 →
↑
328.43 m
↓
↑
328.43 m
↓
N 57.468589°
W 13.782349°		 ← 328.46 m →
107 870 m²		 N 57.468589°
W 13.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461723327636719 y=0.303947448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461723327636719 × 216)
    floor (0.461723327636719 × 65536)
    floor (30259.5)     		tx = 30259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303947448730469 × 216)
    floor (0.303947448730469 × 65536)
    floor (19919.5)     		ty = 19919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30259 / 19919 ti = "16/30259/19919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30259/19919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30259 ÷ 216
    30259 ÷ 65536     		x = 0.461715698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19919 ÷ 216
    19919 ÷ 65536     		y = 0.303939819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.076568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24054736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303939819335938 × 2 - 1) × π
    0.392120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2318824464362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24054736} λ = -0.24054736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2318824464362))-π/2
    2×atan(3.42767588318546)-π/2
    2×1.28693198992304-π/2
    2.57386397984608-1.57079632675     		φ = 1.00306765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24054736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.782349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00306765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.471543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30259 KachelY 19919 -0.24054736 1.00306765 -13.782349 57.471543
    Oben rechts KachelX + 1 30260 KachelY 19919 -0.24045149 1.00306765 -13.776856 57.471543
    Unten links KachelX 30259 KachelY + 1 19920 -0.24054736 1.00301610 -13.782349 57.468589
    Unten rechts KachelX + 1 30260 KachelY + 1 19920 -0.24045149 1.00301610 -13.776856 57.468589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00306765-1.00301610) × R
    5.15500000000113e-05 × 6371000     		dl = 328.425050000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00306765-1.00301610) × R
    5.15500000000113e-05 × 6371000     		dr = 328.425050000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24054736--0.24045149) × cos(1.00306765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.537718429201107 × 6371000     		do = 328.43184025964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24054736--0.24045149) × cos(1.00301610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.53776189155363 × 6371000     		du = 328.458386533016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00306765)-sin(1.00301610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537718429201107-0.53776189155363)×R²
    abs(-0.24045149--0.24054736)×4.34623525225053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34623525225053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34623525225053e-05×40589641000000     		ar = 107869.602813617m²