Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30258 / 42092
↖ ↑ ↗
← S 45.506347°
W 13.787842°		 ← 428.10 m → S 45.506347°
W 13.782349°		 →
↑
428.07 m
↓
↑
428.07 m
↓
S 45.510196°
W 13.787842°		 ← 428.07 m →
183 251 m²		 S 45.510196°
W 13.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461708068847656 y=0.642280578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461708068847656 × 216)
    floor (0.461708068847656 × 65536)
    floor (30258.5)     		tx = 30258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642280578613281 × 216)
    floor (0.642280578613281 × 65536)
    floor (42092.5)     		ty = 42092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30258 / 42092 ti = "16/30258/42092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30258/42092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30258 ÷ 216
    30258 ÷ 65536     		x = 0.461700439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42092 ÷ 216
    42092 ÷ 65536     		y = 0.64227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.07659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24064324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.2845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.893927304114807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24064324} λ = -0.24064324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893927304114807))-π/2
    2×atan(0.409046145502224)-π/2
    2×0.38828037141709-π/2
    0.776560742834179-1.57079632675     		φ = -0.79423558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24064324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.787842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79423558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.506347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30258 KachelY 42092 -0.24064324 -0.79423558 -13.787842 -45.506347
    Oben rechts KachelX + 1 30259 KachelY 42092 -0.24054736 -0.79423558 -13.782349 -45.506347
    Unten links KachelX 30258 KachelY + 1 42093 -0.24064324 -0.79430277 -13.787842 -45.510196
    Unten rechts KachelX + 1 30259 KachelY + 1 42093 -0.24054736 -0.79430277 -13.782349 -45.510196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79423558--0.79430277) × R
    6.71899999999948e-05 × 6371000     		dl = 428.067489999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79423558--0.79430277) × R
    6.71899999999948e-05 × 6371000     		dr = 428.067489999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24064324--0.24054736) × cos(-0.79423558) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.700830253003312 × 6371000     		do = 428.103197275938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24064324--0.24054736) × cos(-0.79430277) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.700782322907387 × 6371000     		du = 428.073919105906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79423558)-sin(-0.79430277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700830253003312-0.700782322907387)×R²
    abs(-0.24054736--0.24064324)×4.7930095925186e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.7930095925186e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.7930095925186e-05×40589641000000     		ar = 183250.794671357m²