Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30258 / 41763
↖ ↑ ↗
← S 44.225520°
W 13.787842°		 ← 437.74 m → S 44.225520°
W 13.782349°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
S 44.229456°
W 13.787842°		 ← 437.71 m →
191 585 m²		 S 44.229456°
W 13.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461708068847656 y=0.637260437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461708068847656 × 216)
    floor (0.461708068847656 × 65536)
    floor (30258.5)     		tx = 30258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637260437011719 × 216)
    floor (0.637260437011719 × 65536)
    floor (41763.5)     		ty = 41763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30258 / 41763 ti = "16/30258/41763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30258/41763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30258 ÷ 216
    30258 ÷ 65536     		x = 0.461700439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41763 ÷ 216
    41763 ÷ 65536     		y = 0.637252807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.07659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24064324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637252807617188 × 2 - 1) × π
    -0.274505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.86238482416481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24064324} λ = -0.24064324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86238482416481))-π/2
    2×atan(0.422154117545303)-π/2
    2×0.399457692098124-π/2
    0.798915384196248-1.57079632675     		φ = -0.77188094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24064324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.787842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77188094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.225520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30258 KachelY 41763 -0.24064324 -0.77188094 -13.787842 -44.225520
    Oben rechts KachelX + 1 30259 KachelY 41763 -0.24054736 -0.77188094 -13.782349 -44.225520
    Unten links KachelX 30258 KachelY + 1 41764 -0.24064324 -0.77194964 -13.787842 -44.229456
    Unten rechts KachelX + 1 30259 KachelY + 1 41764 -0.24054736 -0.77194964 -13.782349 -44.229456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77188094--0.77194964) × R
    6.87000000000326e-05 × 6371000     		dl = 437.687700000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77188094--0.77194964) × R
    6.87000000000326e-05 × 6371000     		dr = 437.687700000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24064324--0.24054736) × cos(-0.77188094) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.716600011806918 × 6371000     		do = 437.736177780367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24064324--0.24054736) × cos(-0.77194964) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.71655209294082 × 6371000     		du = 437.706906470091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77188094)-sin(-0.77194964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716600011806918-0.71655209294082)×R²
    abs(-0.24054736--0.24064324)×4.79188660980068e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.79188660980068e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.79188660980068e-05×40589641000000     		ar = 191585.335088804m²