Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30258 / 22054
↖ ↑ ↗
← N 75.819623°
W 96.893921°		 ← 74.81 m → N 75.819623°
W 96.891174°		 →
↑
74.80 m
↓
↑
74.80 m
↓
N 75.818950°
W 96.893921°		 ← 74.81 m →
5 595 m²		 N 75.818950°
W 96.891174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230854034423828 y=0.168262481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230854034423828 × 217)
    floor (0.230854034423828 × 131072)
    floor (30258.5)     		tx = 30258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168262481689453 × 217)
    floor (0.168262481689453 × 131072)
    floor (22054.5)     		ty = 22054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30258 / 22054 ti = "17/30258/22054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30258/22054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30258 ÷ 217
    30258 ÷ 131072     		x = 0.230850219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22054 ÷ 217
    22054 ÷ 131072     		y = 0.168258666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.538299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69111794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168258666992188 × 2 - 1) × π
    0.663482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08439226927928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69111794} λ = -1.69111794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08439226927928))-π/2
    2×atan(8.03970402159888)-π/2
    2×1.44704919287302-π/2
    2.89409838574605-1.57079632675     		φ = 1.32330206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69111794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32330206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.819623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30258 KachelY 22054 -1.69111794 1.32330206 -96.893921 75.819623
    Oben rechts KachelX + 1 30259 KachelY 22054 -1.69107001 1.32330206 -96.891174 75.819623
    Unten links KachelX 30258 KachelY + 1 22055 -1.69111794 1.32329032 -96.893921 75.818950
    Unten rechts KachelX + 1 30259 KachelY + 1 22055 -1.69107001 1.32329032 -96.891174 75.818950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32330206-1.32329032) × R
    1.17400000001489e-05 × 6371000     		dl = 74.7955400009483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32330206-1.32329032) × R
    1.17400000001489e-05 × 6371000     		dr = 74.7955400009483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69111794--1.69107001) × cos(1.32330206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.244975349080137 × 6371000     		do = 74.806169895115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69111794--1.69107001) × cos(1.32329032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.244986731337326 × 6371000     		du = 74.8096456042763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32330206)-sin(1.32329032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244975349080137-0.244986731337326)×R²
    abs(-1.69107001--1.69111794)×1.13822571892186e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13822571892186e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13822571892186e-05×40589641000000     		ar = 5595.29785653854m²