Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30258 / 20339
↖ ↑ ↗
← N 56.209759°
W 13.787842°		 ← 339.73 m → N 56.209759°
W 13.782349°		 →
↑
339.70 m
↓
↑
339.70 m
↓
N 56.206704°
W 13.787842°		 ← 339.75 m →
115 411 m²		 N 56.206704°
W 13.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461708068847656 y=0.310356140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461708068847656 × 216)
    floor (0.461708068847656 × 65536)
    floor (30258.5)     		tx = 30258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310356140136719 × 216)
    floor (0.310356140136719 × 65536)
    floor (20339.5)     		ty = 20339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30258 / 20339 ti = "16/30258/20339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30258/20339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30258 ÷ 216
    30258 ÷ 65536     		x = 0.461700439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20339 ÷ 216
    20339 ÷ 65536     		y = 0.310348510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.07659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24064324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310348510742188 × 2 - 1) × π
    0.379302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19161545075536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24064324} λ = -0.24064324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19161545075536))-π/2
    2×atan(3.29239561662997)-π/2
    2×1.27592084783012-π/2
    2.55184169566024-1.57079632675     		φ = 0.98104537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24064324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.787842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98104537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.209759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30258 KachelY 20339 -0.24064324 0.98104537 -13.787842 56.209759
    Oben rechts KachelX + 1 30259 KachelY 20339 -0.24054736 0.98104537 -13.782349 56.209759
    Unten links KachelX 30258 KachelY + 1 20340 -0.24064324 0.98099205 -13.787842 56.206704
    Unten rechts KachelX + 1 30259 KachelY + 1 20340 -0.24054736 0.98099205 -13.782349 56.206704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98104537-0.98099205) × R
    5.33200000000233e-05 × 6371000     		dl = 339.701720000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98104537-0.98099205) × R
    5.33200000000233e-05 × 6371000     		dr = 339.701720000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24064324--0.24054736) × cos(0.98104537) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.556154065531493 × 6371000     		do = 339.727534038002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24064324--0.24054736) × cos(0.98099205) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.556198377884438 × 6371000     		du = 339.75460230438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98104537)-sin(0.98099205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556154065531493-0.556198377884438)×R²
    abs(-0.24054736--0.24064324)×4.43123529442202e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.43123529442202e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.43123529442202e-05×40589641000000     		ar = 115410.625239808m²