Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30257 / 20345
↖ ↑ ↗
← N 56.191425°
W 13.793335°		 ← 339.85 m → N 56.191425°
W 13.787842°		 →
↑
339.89 m
↓
↑
339.89 m
↓
N 56.188368°
W 13.793335°		 ← 339.88 m →
115 519 m²		 N 56.188368°
W 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461692810058594 y=0.310447692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461692810058594 × 216)
    floor (0.461692810058594 × 65536)
    floor (30257.5)     		tx = 30257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310447692871094 × 216)
    floor (0.310447692871094 × 65536)
    floor (20345.5)     		ty = 20345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30257 / 20345 ti = "16/30257/20345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30257/20345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30257 ÷ 216
    30257 ÷ 65536     		x = 0.461685180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20345 ÷ 216
    20345 ÷ 65536     		y = 0.310440063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461685180664062 × 2 - 1) × π
    -0.076629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24073911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310440063476562 × 2 - 1) × π
    0.379119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19104020795992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24073911} λ = -0.24073911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19104020795992))-π/2
    2×atan(3.29050223440122)-π/2
    2×1.27576084778015-π/2
    2.55152169556031-1.57079632675     		φ = 0.98072537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24073911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.793335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98072537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.191425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30257 KachelY 20345 -0.24073911 0.98072537 -13.793335 56.191425
    Oben rechts KachelX + 1 30258 KachelY 20345 -0.24064324 0.98072537 -13.787842 56.191425
    Unten links KachelX 30257 KachelY + 1 20346 -0.24073911 0.98067202 -13.793335 56.188368
    Unten rechts KachelX + 1 30258 KachelY + 1 20346 -0.24064324 0.98067202 -13.787842 56.188368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98072537-0.98067202) × R
    5.33500000000631e-05 × 6371000     		dl = 339.892850000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98072537-0.98067202) × R
    5.33500000000631e-05 × 6371000     		dr = 339.892850000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24073911--0.24064324) × cos(0.98072537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556419982399471 × 6371000     		do = 339.854520233204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24073911--0.24064324) × cos(0.98067202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556464310186591 × 6371000     		du = 339.881595103449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98072537)-sin(0.98067202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556419982399471-0.556464310186591)×R²
    abs(-0.24064324--0.24073911)×4.43277871201575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43277871201575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43277871201575e-05×40589641000000     		ar = 115518.72277253m²