Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30257 / 20069
↖ ↑ ↗
← N 57.025784°
W 13.793335°		 ← 332.43 m → N 57.025784°
W 13.787842°		 →
↑
332.44 m
↓
↑
332.44 m
↓
N 57.022794°
W 13.793335°		 ← 332.46 m →
110 517 m²		 N 57.022794°
W 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461692810058594 y=0.306236267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461692810058594 × 216)
    floor (0.461692810058594 × 65536)
    floor (30257.5)     		tx = 30257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306236267089844 × 216)
    floor (0.306236267089844 × 65536)
    floor (20069.5)     		ty = 20069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30257 / 20069 ti = "16/30257/20069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30257/20069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30257 ÷ 216
    30257 ÷ 65536     		x = 0.461685180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20069 ÷ 216
    20069 ÷ 65536     		y = 0.306228637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461685180664062 × 2 - 1) × π
    -0.076629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24073911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306228637695312 × 2 - 1) × π
    0.387542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21750137655019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24073911} λ = -0.24073911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21750137655019))-π/2
    2×atan(3.37873499142874)-π/2
    2×1.28304201026724-π/2
    2.56608402053447-1.57079632675     		φ = 0.99528769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24073911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.793335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99528769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.025784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30257 KachelY 20069 -0.24073911 0.99528769 -13.793335 57.025784
    Oben rechts KachelX + 1 30258 KachelY 20069 -0.24064324 0.99528769 -13.787842 57.025784
    Unten links KachelX 30257 KachelY + 1 20070 -0.24073911 0.99523551 -13.793335 57.022794
    Unten rechts KachelX + 1 30258 KachelY + 1 20070 -0.24064324 0.99523551 -13.787842 57.022794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99528769-0.99523551) × R
    5.21799999999573e-05 × 6371000     		dl = 332.438779999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99528769-0.99523551) × R
    5.21799999999573e-05 × 6371000     		dr = 332.438779999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24073911--0.24064324) × cos(0.99528769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544261564400117 × 6371000     		do = 332.428307216652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24073911--0.24064324) × cos(0.99523551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544305338274091 × 6371000     		du = 332.45504376352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99528769)-sin(0.99523551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544261564400117-0.544305338274091)×R²
    abs(-0.24064324--0.24073911)×4.37738739733629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37738739733629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37738739733629e-05×40589641000000     		ar = 110516.505045887m²