Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30257 / 19988
↖ ↑ ↗
← N 57.267164°
W 13.793335°		 ← 330.27 m → N 57.267164°
W 13.787842°		 →
↑
330.34 m
↓
↑
330.34 m
↓
N 57.264193°
W 13.793335°		 ← 330.29 m →
109 103 m²		 N 57.264193°
W 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461692810058594 y=0.305000305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461692810058594 × 216)
    floor (0.461692810058594 × 65536)
    floor (30257.5)     		tx = 30257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305000305175781 × 216)
    floor (0.305000305175781 × 65536)
    floor (19988.5)     		ty = 19988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30257 / 19988 ti = "16/30257/19988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30257/19988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30257 ÷ 216
    30257 ÷ 65536     		x = 0.461685180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19988 ÷ 216
    19988 ÷ 65536     		y = 0.30499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461685180664062 × 2 - 1) × π
    -0.076629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24073911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30499267578125 × 2 - 1) × π
    0.3900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22526715428864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24073911} λ = -0.24073911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22526715428864))-π/2
    2×atan(3.40507564184996)-π/2
    2×1.28514844218871-π/2
    2.57029688437742-1.57079632675     		φ = 0.99950056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24073911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.793335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99950056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.267164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30257 KachelY 19988 -0.24073911 0.99950056 -13.793335 57.267164
    Oben rechts KachelX + 1 30258 KachelY 19988 -0.24064324 0.99950056 -13.787842 57.267164
    Unten links KachelX 30257 KachelY + 1 19989 -0.24073911 0.99944871 -13.793335 57.264193
    Unten rechts KachelX + 1 30258 KachelY + 1 19989 -0.24064324 0.99944871 -13.787842 57.264193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99950056-0.99944871) × R
    5.18499999999644e-05 × 6371000     		dl = 330.336349999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99950056-0.99944871) × R
    5.18499999999644e-05 × 6371000     		dr = 330.336349999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24073911--0.24064324) × cos(0.99950056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540722502732733 × 6371000     		do = 330.266691632938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24073911--0.24064324) × cos(0.99944871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540766118279341 × 6371000     		du = 330.293331475388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99950056)-sin(0.99944871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540722502732733-0.540766118279341)×R²
    abs(-0.24064324--0.24073911)×4.36155466073673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36155466073673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36155466073673e-05×40589641000000     		ar = 109103.493519225m²